Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22688 / 47448
↖ ↑ ↗
← S 62.492028°
W 55.371094°		 ← 282.14 m → S 62.492028°
W 55.365600°		 →
↑
282.11 m
↓
↑
282.11 m
↓
S 62.494565°
W 55.371094°		 ← 282.11 m →
79 589 m²		 S 62.494565°
W 55.365600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346199035644531 y=0.724006652832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346199035644531 × 216)
    floor (0.346199035644531 × 65536)
    floor (22688.5)     		tx = 22688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724006652832031 × 216)
    floor (0.724006652832031 × 65536)
    floor (47448.5)     		ty = 47448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22688 / 47448 ti = "16/22688/47448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22688/47448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22688 ÷ 216
    22688 ÷ 65536     		x = 0.34619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47448 ÷ 216
    47448 ÷ 65536     		y = 0.7239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34619140625 × 2 - 1) × π
    -0.3076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96640790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7239990234375 × 2 - 1) × π
    -0.447998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40742737284485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96640790} λ = -0.96640790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40742737284485))-π/2
    2×atan(0.244772181406929)-π/2
    2×0.240052343334964-π/2
    0.480104686669927-1.57079632675     		φ = -1.09069164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96640790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09069164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.492028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22688 KachelY 47448 -0.96640790 -1.09069164 -55.371094 -62.492028
    Oben rechts KachelX + 1 22689 KachelY 47448 -0.96631202 -1.09069164 -55.365600 -62.492028
    Unten links KachelX 22688 KachelY + 1 47449 -0.96640790 -1.09073592 -55.371094 -62.494565
    Unten rechts KachelX + 1 22689 KachelY + 1 47449 -0.96631202 -1.09073592 -55.365600 -62.494565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09069164--1.09073592) × R
    4.42800000000076e-05 × 6371000     		dl = 282.107880000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09069164--1.09073592) × R
    4.42800000000076e-05 × 6371000     		dr = 282.107880000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96640790--0.96631202) × cos(-1.09069164) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.461872029666475 × 6371000     		do = 282.135212892185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96640790--0.96631202) × cos(-1.09073592) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.461832755219313 × 6371000     		du = 282.11122203801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09069164)-sin(-1.09073592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461872029666475-0.461832755219313)×R²
    abs(-0.96631202--0.96640790)×3.9274447161286e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.9274447161286e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.9274447161286e-05×40589641000000     		ar = 79589.1827910226m²