Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22687 / 47458
↖ ↑ ↗
← S 62.517389°
W 55.376587°		 ← 281.87 m → S 62.517389°
W 55.371094°		 →
↑
281.85 m
↓
↑
281.85 m
↓
S 62.519923°
W 55.376587°		 ← 281.84 m →
79 441 m²		 S 62.519923°
W 55.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346183776855469 y=0.724159240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346183776855469 × 216)
    floor (0.346183776855469 × 65536)
    floor (22687.5)     		tx = 22687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724159240722656 × 216)
    floor (0.724159240722656 × 65536)
    floor (47458.5)     		ty = 47458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22687 / 47458 ti = "16/22687/47458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22687/47458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22687 ÷ 216
    22687 ÷ 65536     		x = 0.346176147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47458 ÷ 216
    47458 ÷ 65536     		y = 0.724151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346176147460938 × 2 - 1) × π
    -0.307647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96650377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.44830322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40838611083725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96650377} λ = -0.96650377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40838611083725))-π/2
    2×atan(0.244537621475857)-π/2
    2×0.239831030321042-π/2
    0.479662060642083-1.57079632675     		φ = -1.09113427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96650377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.376587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09113427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.517389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22687 KachelY 47458 -0.96650377 -1.09113427 -55.376587 -62.517389
    Oben rechts KachelX + 1 22688 KachelY 47458 -0.96640790 -1.09113427 -55.371094 -62.517389
    Unten links KachelX 22687 KachelY + 1 47459 -0.96650377 -1.09117851 -55.376587 -62.519923
    Unten rechts KachelX + 1 22688 KachelY + 1 47459 -0.96640790 -1.09117851 -55.371094 -62.519923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09113427--1.09117851) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dl = 281.853040000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09113427--1.09117851) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dr = 281.853040000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96650377--0.96640790) × cos(-1.09113427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461479395271188 × 6371000     		do = 281.865970738631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96650377--0.96640790) × cos(-1.09117851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46144014726258 × 6371000     		du = 281.841998534977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09113427)-sin(-1.09117851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461479395271188-0.46144014726258)×R²
    abs(-0.96640790--0.96650377)×3.92480086078284e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92480086078284e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92480086078284e-05×40589641000000     		ar = 79441.4024188723m²