Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22682 / 47480
↖ ↑ ↗
← S 62.573106°
W 55.404053°		 ← 281.34 m → S 62.573106°
W 55.398560°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
S 62.575636°
W 55.404053°		 ← 281.31 m →
79 149 m²		 S 62.575636°
W 55.398560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346107482910156 y=0.724494934082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346107482910156 × 216)
    floor (0.346107482910156 × 65536)
    floor (22682.5)     		tx = 22682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724494934082031 × 216)
    floor (0.724494934082031 × 65536)
    floor (47480.5)     		ty = 47480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22682 / 47480 ti = "16/22682/47480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22682/47480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22682 ÷ 216
    22682 ÷ 65536     		x = 0.346099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47480 ÷ 216
    47480 ÷ 65536     		y = 0.7244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.30780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96698314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7244873046875 × 2 - 1) × π
    -0.448974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41049533442053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96698314} λ = -0.96698314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41049533442053))-π/2
    2×atan(0.244022380527837)-π/2
    2×0.239344803837618-π/2
    0.478689607675236-1.57079632675     		φ = -1.09210672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96698314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.404053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09210672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.573106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22682 KachelY 47480 -0.96698314 -1.09210672 -55.404053 -62.573106
    Oben rechts KachelX + 1 22683 KachelY 47480 -0.96688727 -1.09210672 -55.398560 -62.573106
    Unten links KachelX 22682 KachelY + 1 47481 -0.96698314 -1.09215088 -55.404053 -62.575636
    Unten rechts KachelX + 1 22683 KachelY + 1 47481 -0.96688727 -1.09215088 -55.398560 -62.575636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09210672--1.09215088) × R
    4.41599999998488e-05 × 6371000     		dl = 281.343359999036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09210672--1.09215088) × R
    4.41599999998488e-05 × 6371000     		dr = 281.343359999036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96698314--0.96688727) × cos(-1.09210672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460616467286889 × 6371000     		do = 281.338904879431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96698314--0.96688727) × cos(-1.09215088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460577270453865 × 6371000     		du = 281.314963933197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09210672)-sin(-1.09215088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460616467286889-0.460577270453865)×R²
    abs(-0.96688727--0.96698314)×3.91968330240022e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91968330240022e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91968330240022e-05×40589641000000     		ar = 79149.4649969192m²