Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22681 / 47521
↖ ↑ ↗
← S 62.676665°
W 55.409546°		 ← 280.36 m → S 62.676665°
W 55.404053°		 →
↑
280.32 m
↓
↑
280.32 m
↓
S 62.679186°
W 55.409546°		 ← 280.33 m →
78 588 m²		 S 62.679186°
W 55.404053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346092224121094 y=0.725120544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346092224121094 × 216)
    floor (0.346092224121094 × 65536)
    floor (22681.5)     		tx = 22681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725120544433594 × 216)
    floor (0.725120544433594 × 65536)
    floor (47521.5)     		ty = 47521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22681 / 47521 ti = "16/22681/47521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22681/47521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22681 ÷ 216
    22681 ÷ 65536     		x = 0.346084594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47521 ÷ 216
    47521 ÷ 65536     		y = 0.725112915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346084594726562 × 2 - 1) × π
    -0.307830810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96707901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725112915039062 × 2 - 1) × π
    -0.450225830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41442616018938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96707901} λ = -0.96707901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41442616018938))-π/2
    2×atan(0.243065053841157)-π/2
    2×0.238441080251541-π/2
    0.476882160503082-1.57079632675     		φ = -1.09391417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96707901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.409546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09391417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.676665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22681 KachelY 47521 -0.96707901 -1.09391417 -55.409546 -62.676665
    Oben rechts KachelX + 1 22682 KachelY 47521 -0.96698314 -1.09391417 -55.404053 -62.676665
    Unten links KachelX 22681 KachelY + 1 47522 -0.96707901 -1.09395817 -55.409546 -62.679186
    Unten rechts KachelX + 1 22682 KachelY + 1 47522 -0.96698314 -1.09395817 -55.404053 -62.679186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09391417--1.09395817) × R
    4.4000000000155e-05 × 6371000     		dl = 280.324000000988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09391417--1.09395817) × R
    4.4000000000155e-05 × 6371000     		dr = 280.324000000988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96707901--0.96698314) × cos(-1.09391417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459011424465642 × 6371000     		do = 280.358564353887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96707901--0.96698314) × cos(-1.09395817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458972333085302 × 6371000     		du = 280.334687816863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09391417)-sin(-1.09395817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459011424465642-0.458972333085302)×R²
    abs(-0.96698314--0.96707901)×3.90913803398063e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90913803398063e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90913803398063e-05×40589641000000     		ar = 78587.8876240204m²