Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22681 / 47479
↖ ↑ ↗
← S 62.570576°
W 55.409546°		 ← 281.36 m → S 62.570576°
W 55.404053°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
S 62.573106°
W 55.409546°		 ← 281.34 m →
79 156 m²		 S 62.573106°
W 55.404053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346092224121094 y=0.724479675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346092224121094 × 216)
    floor (0.346092224121094 × 65536)
    floor (22681.5)     		tx = 22681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724479675292969 × 216)
    floor (0.724479675292969 × 65536)
    floor (47479.5)     		ty = 47479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22681 / 47479 ti = "16/22681/47479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22681/47479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22681 ÷ 216
    22681 ÷ 65536     		x = 0.346084594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47479 ÷ 216
    47479 ÷ 65536     		y = 0.724472045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346084594726562 × 2 - 1) × π
    -0.307830810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96707901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724472045898438 × 2 - 1) × π
    -0.448944091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41039946062129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96707901} λ = -0.96707901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41039946062129))-π/2
    2×atan(0.244045777002095)-π/2
    2×0.239366885302529-π/2
    0.478733770605059-1.57079632675     		φ = -1.09206256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96707901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.409546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09206256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.570576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22681 KachelY 47479 -0.96707901 -1.09206256 -55.409546 -62.570576
    Oben rechts KachelX + 1 22682 KachelY 47479 -0.96698314 -1.09206256 -55.404053 -62.570576
    Unten links KachelX 22681 KachelY + 1 47480 -0.96707901 -1.09210672 -55.409546 -62.573106
    Unten rechts KachelX + 1 22682 KachelY + 1 47480 -0.96698314 -1.09210672 -55.404053 -62.573106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09206256--1.09210672) × R
    4.41600000000708e-05 × 6371000     		dl = 281.343360000451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09206256--1.09210672) × R
    4.41600000000708e-05 × 6371000     		dr = 281.343360000451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96707901--0.96698314) × cos(-1.09206256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460655663221663 × 6371000     		do = 281.362845277024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96707901--0.96698314) × cos(-1.09210672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460616467286889 × 6371000     		du = 281.338904879431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09206256)-sin(-1.09210672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460655663221663-0.460616467286889)×R²
    abs(-0.96698314--0.96707901)×3.91959347733617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91959347733617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91959347733617e-05×40589641000000     		ar = 79156.2005463869m²