Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22679 / 47517
↖ ↑ ↗
← S 62.666578°
W 55.420532°		 ← 280.45 m → S 62.666578°
W 55.415039°		 →
↑
280.45 m
↓
↑
280.45 m
↓
S 62.669100°
W 55.420532°		 ← 280.43 m →
78 650 m²		 S 62.669100°
W 55.415039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346061706542969 y=0.725059509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346061706542969 × 216)
    floor (0.346061706542969 × 65536)
    floor (22679.5)     		tx = 22679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725059509277344 × 216)
    floor (0.725059509277344 × 65536)
    floor (47517.5)     		ty = 47517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22679 / 47517 ti = "16/22679/47517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22679/47517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22679 ÷ 216
    22679 ÷ 65536     		x = 0.346054077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47517 ÷ 216
    47517 ÷ 65536     		y = 0.725051879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346054077148438 × 2 - 1) × π
    -0.307891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96727076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725051879882812 × 2 - 1) × π
    -0.450103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41404266499242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96727076} λ = -0.96727076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41404266499242))-π/2
    2×atan(0.243158285997754)-π/2
    2×0.238529109585366-π/2
    0.477058219170732-1.57079632675     		φ = -1.09373811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96727076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.420532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09373811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.666578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22679 KachelY 47517 -0.96727076 -1.09373811 -55.420532 -62.666578
    Oben rechts KachelX + 1 22680 KachelY 47517 -0.96717489 -1.09373811 -55.415039 -62.666578
    Unten links KachelX 22679 KachelY + 1 47518 -0.96727076 -1.09378213 -55.420532 -62.669100
    Unten rechts KachelX + 1 22680 KachelY + 1 47518 -0.96717489 -1.09378213 -55.415039 -62.669100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09373811--1.09378213) × R
    4.40199999998114e-05 × 6371000     		dl = 280.451419998799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09373811--1.09378213) × R
    4.40199999998114e-05 × 6371000     		dr = 280.451419998799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96727076--0.96717489) × cos(-1.09373811) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459167834400755 × 6371000     		do = 280.45409762936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96727076--0.96717489) × cos(-1.09378213) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459128728809272 × 6371000     		du = 280.430212412344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09373811)-sin(-1.09378213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459167834400755-0.459128728809272)×R²
    abs(-0.96717489--0.96727076)×3.91055914836791e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91055914836791e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91055914836791e-05×40589641000000     		ar = 78650.4006158648m²