Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22678 / 47516
↖ ↑ ↗
← S 62.664055°
W 55.426025°		 ← 280.48 m → S 62.664055°
W 55.420532°		 →
↑
280.52 m
↓
↑
280.52 m
↓
S 62.666578°
W 55.426025°		 ← 280.45 m →
78 675 m²		 S 62.666578°
W 55.420532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346046447753906 y=0.725044250488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346046447753906 × 216)
    floor (0.346046447753906 × 65536)
    floor (22678.5)     		tx = 22678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725044250488281 × 216)
    floor (0.725044250488281 × 65536)
    floor (47516.5)     		ty = 47516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22678 / 47516 ti = "16/22678/47516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22678/47516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22678 ÷ 216
    22678 ÷ 65536     		x = 0.346038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47516 ÷ 216
    47516 ÷ 65536     		y = 0.72503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.30792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96736663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.4500732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41394679119318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96736663} λ = -0.96736663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41394679119318))-π/2
    2×atan(0.243181599624014)-π/2
    2×0.238551121605209-π/2
    0.477102243210418-1.57079632675     		φ = -1.09369408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96736663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.426025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09369408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.664055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22678 KachelY 47516 -0.96736663 -1.09369408 -55.426025 -62.664055
    Oben rechts KachelX + 1 22679 KachelY 47516 -0.96727076 -1.09369408 -55.420532 -62.664055
    Unten links KachelX 22678 KachelY + 1 47517 -0.96736663 -1.09373811 -55.426025 -62.666578
    Unten rechts KachelX + 1 22679 KachelY + 1 47517 -0.96727076 -1.09373811 -55.420532 -62.666578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09369408--1.09373811) × R
    4.40300000001947e-05 × 6371000     		dl = 280.515130001241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09369408--1.09373811) × R
    4.40300000001947e-05 × 6371000     		dr = 280.515130001241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96736663--0.96727076) × cos(-1.09369408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459206947985775 × 6371000     		do = 280.477987728731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96736663--0.96727076) × cos(-1.09373811) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459167834400755 × 6371000     		du = 280.45409762936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09369408)-sin(-1.09373811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459206947985775-0.459167834400755)×R²
    abs(-0.96727076--0.96736663)×3.91135850199564e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91135850199564e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91135850199564e-05×40589641000000     		ar = 78674.9684358751m²