Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22677 / 47483
↖ ↑ ↗
← S 62.580696°
W 55.431519°		 ← 281.30 m → S 62.580696°
W 55.426025°		 →
↑
281.22 m
↓
↑
281.22 m
↓
S 62.583225°
W 55.431519°		 ← 281.27 m →
79 102 m²		 S 62.583225°
W 55.426025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346031188964844 y=0.724540710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346031188964844 × 216)
    floor (0.346031188964844 × 65536)
    floor (22677.5)     		tx = 22677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724540710449219 × 216)
    floor (0.724540710449219 × 65536)
    floor (47483.5)     		ty = 47483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22677 / 47483 ti = "16/22677/47483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22677/47483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22677 ÷ 216
    22677 ÷ 65536     		x = 0.346023559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47483 ÷ 216
    47483 ÷ 65536     		y = 0.724533081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346023559570312 × 2 - 1) × π
    -0.307952880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96746251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724533081054688 × 2 - 1) × π
    -0.449066162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41078295581825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96746251} λ = -0.96746251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41078295581825))-π/2
    2×atan(0.243952204562213)-π/2
    2×0.239278570716403-π/2
    0.478557141432806-1.57079632675     		φ = -1.09223919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96746251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.431519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09223919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.580696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22677 KachelY 47483 -0.96746251 -1.09223919 -55.431519 -62.580696
    Oben rechts KachelX + 1 22678 KachelY 47483 -0.96736663 -1.09223919 -55.426025 -62.580696
    Unten links KachelX 22677 KachelY + 1 47484 -0.96746251 -1.09228333 -55.431519 -62.583225
    Unten rechts KachelX + 1 22678 KachelY + 1 47484 -0.96736663 -1.09228333 -55.426025 -62.583225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09223919--1.09228333) × R
    4.41400000001924e-05 × 6371000     		dl = 281.215940001226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09223919--1.09228333) × R
    4.41400000001924e-05 × 6371000     		dr = 281.215940001226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96746251--0.96736663) × cos(-1.09223919) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.460498882969974 × 6371000     		do = 281.296424200696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96746251--0.96736663) × cos(-1.09228333) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.460459701196471 × 6371000     		du = 281.272489956364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09223919)-sin(-1.09228333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460498882969974-0.460459701196471)×R²
    abs(-0.96736663--0.96746251)×3.91817735022615e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.91817735022615e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.91817735022615e-05×40589641000000     		ar = 79101.6730181072m²