Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22676 / 10379
↖ ↑ ↗
← N 54.908198°
E 69.125977°		 ← 702.31 m → N 54.908198°
E 69.136963°		 →
↑
702.34 m
↓
↑
702.34 m
↓
N 54.901882°
E 69.125977°		 ← 702.42 m →
493 296 m²		 N 54.901882°
E 69.136963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692031860351562 y=0.316757202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692031860351562 × 215)
    floor (0.692031860351562 × 32768)
    floor (22676.5)     		tx = 22676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316757202148438 × 215)
    floor (0.316757202148438 × 32768)
    floor (10379.5)     		ty = 10379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22676 / 10379 ti = "15/22676/10379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22676/10379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22676 ÷ 215
    22676 ÷ 32768     		x = 0.6920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10379 ÷ 215
    10379 ÷ 32768     		y = 0.316741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6920166015625 × 2 - 1) × π
    0.384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20647589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316741943359375 × 2 - 1) × π
    0.36651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15144432887375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20647589} λ = 1.20647589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15144432887375))-π/2
    2×atan(3.16275767461545)-π/2
    2×1.26456258928128-π/2
    2.52912517856256-1.57079632675     		φ = 0.95832885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20647589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.125977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95832885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.908198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22676 KachelY 10379 1.20647589 0.95832885 69.125977 54.908198
    Oben rechts KachelX + 1 22677 KachelY 10379 1.20666764 0.95832885 69.136963 54.908198
    Unten links KachelX 22676 KachelY + 1 10380 1.20647589 0.95821861 69.125977 54.901882
    Unten rechts KachelX + 1 22677 KachelY + 1 10380 1.20666764 0.95821861 69.136963 54.901882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95832885-0.95821861) × R
    0.000110240000000039 × 6371000     		dl = 702.33904000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95832885-0.95821861) × R
    0.000110240000000039 × 6371000     		dr = 702.33904000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20647589-1.20666764) × cos(0.95832885) × R
    0.000191749999999935 × 0.574888176578033 × 6371000     		do = 702.305960868418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20647589-1.20666764) × cos(0.95821861) × R
    0.000191749999999935 × 0.574978374978823 × 6371000     		du = 702.416150775109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95832885)-sin(0.95821861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574888176578033-0.574978374978823)×R²
    abs(1.20666764-1.20647589)×9.01984007891654e-05×R²
    0.000191749999999935×9.01984007891654e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.01984007891654e-05×40589641000000     		ar = 493295.590178305m²