Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22675 / 47518
↖ ↑ ↗
← S 62.669100°
W 55.442505°		 ← 280.46 m → S 62.669100°
W 55.437012°		 →
↑
280.39 m
↓
↑
280.39 m
↓
S 62.671621°
W 55.442505°		 ← 280.44 m →
78 634 m²		 S 62.671621°
W 55.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346000671386719 y=0.725074768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346000671386719 × 216)
    floor (0.346000671386719 × 65536)
    floor (22675.5)     		tx = 22675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725074768066406 × 216)
    floor (0.725074768066406 × 65536)
    floor (47518.5)     		ty = 47518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22675 / 47518 ti = "16/22675/47518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22675/47518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22675 ÷ 216
    22675 ÷ 65536     		x = 0.345993041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47518 ÷ 216
    47518 ÷ 65536     		y = 0.725067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345993041992188 × 2 - 1) × π
    -0.308013916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96765426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725067138671875 × 2 - 1) × π
    -0.45013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41413853879166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96765426} λ = -0.96765426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41413853879166))-π/2
    2×atan(0.243134974606552)-π/2
    2×0.238507099440195-π/2
    0.47701419888039-1.57079632675     		φ = -1.09378213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96765426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.442505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09378213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.669100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22675 KachelY 47518 -0.96765426 -1.09378213 -55.442505 -62.669100
    Oben rechts KachelX + 1 22676 KachelY 47518 -0.96755838 -1.09378213 -55.437012 -62.669100
    Unten links KachelX 22675 KachelY + 1 47519 -0.96765426 -1.09382614 -55.442505 -62.671621
    Unten rechts KachelX + 1 22676 KachelY + 1 47519 -0.96755838 -1.09382614 -55.437012 -62.671621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09378213--1.09382614) × R
    4.40100000000943e-05 × 6371000     		dl = 280.3877100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09378213--1.09382614) × R
    4.40100000000943e-05 × 6371000     		dr = 280.3877100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96765426--0.96755838) × cos(-1.09378213) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.459128728809272 × 6371000     		do = 280.459463503478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96765426--0.96755838) × cos(-1.09382614) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.459089631212006 × 6371000     		du = 280.435580678324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09378213)-sin(-1.09382614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459128728809272-0.459089631212006)×R²
    abs(-0.96755838--0.96765426)×3.90975972657803e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.90975972657803e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.90975972657803e-05×40589641000000     		ar = 78634.0385070964m²