Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22675 / 47280
↖ ↑ ↗
← S 62.062733°
W 55.442505°		 ← 286.19 m → S 62.062733°
W 55.437012°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
S 62.065307°
W 55.442505°		 ← 286.16 m →
81 881 m²		 S 62.065307°
W 55.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346000671386719 y=0.721443176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346000671386719 × 216)
    floor (0.346000671386719 × 65536)
    floor (22675.5)     		tx = 22675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721443176269531 × 216)
    floor (0.721443176269531 × 65536)
    floor (47280.5)     		ty = 47280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22675 / 47280 ti = "16/22675/47280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22675/47280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22675 ÷ 216
    22675 ÷ 65536     		x = 0.345993041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47280 ÷ 216
    47280 ÷ 65536     		y = 0.721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345993041992188 × 2 - 1) × π
    -0.308013916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96765426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.44287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39132057457251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96765426} λ = -0.96765426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39132057457251))-π/2
    2×atan(0.248746599205515)-π/2
    2×0.243798644329833-π/2
    0.487597288659666-1.57079632675     		φ = -1.08319904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96765426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.442505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08319904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.062733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22675 KachelY 47280 -0.96765426 -1.08319904 -55.442505 -62.062733
    Oben rechts KachelX + 1 22676 KachelY 47280 -0.96755838 -1.08319904 -55.437012 -62.062733
    Unten links KachelX 22675 KachelY + 1 47281 -0.96765426 -1.08324395 -55.442505 -62.065307
    Unten rechts KachelX + 1 22676 KachelY + 1 47281 -0.96755838 -1.08324395 -55.437012 -62.065307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08319904--1.08324395) × R
    4.49099999999536e-05 × 6371000     		dl = 286.121609999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08319904--1.08324395) × R
    4.49099999999536e-05 × 6371000     		dr = 286.121609999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96765426--0.96755838) × cos(-1.08319904) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468504538932068 × 6371000     		do = 286.186690993184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96765426--0.96755838) × cos(-1.08324395) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468464862222078 × 6371000     		du = 286.162454416165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08319904)-sin(-1.08324395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468504538932068-0.468464862222078)×R²
    abs(-0.96755838--0.96765426)×3.96767099899997e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.96767099899997e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.96767099899997e-05×40589641000000     		ar = 81880.729496648m²