Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22674 / 39023
↖ ↑ ↗
← S 32.468061°
W 55.447998°		 ← 515.32 m → S 32.468061°
W 55.442505°		 →
↑
515.35 m
↓
↑
515.35 m
↓
S 32.472695°
W 55.447998°		 ← 515.29 m →
265 561 m²		 S 32.472695°
W 55.442505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345985412597656 y=0.595451354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345985412597656 × 216)
    floor (0.345985412597656 × 65536)
    floor (22674.5)     		tx = 22674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595451354980469 × 216)
    floor (0.595451354980469 × 65536)
    floor (39023.5)     		ty = 39023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22674 / 39023 ti = "16/22674/39023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22674/39023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22674 ÷ 216
    22674 ÷ 65536     		x = 0.345977783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39023 ÷ 216
    39023 ÷ 65536     		y = 0.595443725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.30804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96775013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595443725585938 × 2 - 1) × π
    -0.190887451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.599690614246903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96775013} λ = -0.96775013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.599690614246903))-π/2
    2×atan(0.548981456864077)-π/2
    2×0.50206088372108-π/2
    1.00412176744216-1.57079632675     		φ = -0.56667456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96775013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.447998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56667456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.468061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22674 KachelY 39023 -0.96775013 -0.56667456 -55.447998 -32.468061
    Oben rechts KachelX + 1 22675 KachelY 39023 -0.96765426 -0.56667456 -55.442505 -32.468061
    Unten links KachelX 22674 KachelY + 1 39024 -0.96775013 -0.56675545 -55.447998 -32.472695
    Unten rechts KachelX + 1 22675 KachelY + 1 39024 -0.96765426 -0.56675545 -55.442505 -32.472695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56667456--0.56675545) × R
    8.08900000000001e-05 × 6371000     		dl = 515.350190000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56667456--0.56675545) × R
    8.08900000000001e-05 × 6371000     		dr = 515.350190000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96775013--0.96765426) × cos(-0.56667456) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.843690830756731 × 6371000     		do = 515.31604108734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96775013--0.96765426) × cos(-0.56675545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.8436474038681 × 6371000     		du = 515.289516474875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56667456)-sin(-0.56675545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843690830756731-0.8436474038681)×R²
    abs(-0.96765426--0.96775013)×4.34268886309042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.34268886309042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.34268886309042e-05×40589641000000     		ar = 265561.385097041m²