Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22672 / 47213
↖ ↑ ↗
← S 61.889814°
W 55.458985°		 ← 287.81 m → S 61.889814°
W 55.453491°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
S 61.892402°
W 55.458985°		 ← 287.79 m →
82 823 m²		 S 61.892402°
W 55.453491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345954895019531 y=0.720420837402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345954895019531 × 216)
    floor (0.345954895019531 × 65536)
    floor (22672.5)     		tx = 22672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720420837402344 × 216)
    floor (0.720420837402344 × 65536)
    floor (47213.5)     		ty = 47213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22672 / 47213 ti = "16/22672/47213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22672/47213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22672 ÷ 216
    22672 ÷ 65536     		x = 0.345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47213 ÷ 216
    47213 ÷ 65536     		y = 0.720413208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.30810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96794188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720413208007812 × 2 - 1) × π
    -0.440826416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38489703002342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96794188} λ = -0.96794188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38489703002342))-π/2
    2×atan(0.250349576954612)-π/2
    2×0.245307649659073-π/2
    0.490615299318147-1.57079632675     		φ = -1.08018103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96794188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.458985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08018103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.889814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22672 KachelY 47213 -0.96794188 -1.08018103 -55.458985 -61.889814
    Oben rechts KachelX + 1 22673 KachelY 47213 -0.96784600 -1.08018103 -55.453491 -61.889814
    Unten links KachelX 22672 KachelY + 1 47214 -0.96794188 -1.08022620 -55.458985 -61.892402
    Unten rechts KachelX + 1 22673 KachelY + 1 47214 -0.96784600 -1.08022620 -55.453491 -61.892402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08018103--1.08022620) × R
    4.51699999999278e-05 × 6371000     		dl = 287.77806999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08018103--1.08022620) × R
    4.51699999999278e-05 × 6371000     		dr = 287.77806999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96794188--0.96784600) × cos(-1.08018103) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.471168695629678 × 6371000     		do = 287.814095055203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96794188--0.96784600) × cos(-1.08022620) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.471128853261427 × 6371000     		du = 287.78975728559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08018103)-sin(-1.08022620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471168695629678-0.471128853261427)×R²
    abs(-0.96784600--0.96794188)×3.98423682511084e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.98423682511084e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.98423682511084e-05×40589641000000     		ar = 82823.0828694578m²