Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22671 / 47508
↖ ↑ ↗
← S 62.643868°
W 55.464477°		 ← 280.67 m → S 62.643868°
W 55.458985°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
S 62.646392°
W 55.464477°		 ← 280.65 m →
78 764 m²		 S 62.646392°
W 55.458985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345939636230469 y=0.724922180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345939636230469 × 216)
    floor (0.345939636230469 × 65536)
    floor (22671.5)     		tx = 22671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724922180175781 × 216)
    floor (0.724922180175781 × 65536)
    floor (47508.5)     		ty = 47508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22671 / 47508 ti = "16/22671/47508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22671/47508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22671 ÷ 216
    22671 ÷ 65536     		x = 0.345932006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47508 ÷ 216
    47508 ÷ 65536     		y = 0.72491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345932006835938 × 2 - 1) × π
    -0.308135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96803775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.4498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41317980079926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96803775} λ = -0.96803775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41317980079926))-π/2
    2×atan(0.243368189121933)-π/2
    2×0.238727285266173-π/2
    0.477454570532346-1.57079632675     		φ = -1.09334176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96803775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.464477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09334176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.643868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22671 KachelY 47508 -0.96803775 -1.09334176 -55.464477 -62.643868
    Oben rechts KachelX + 1 22672 KachelY 47508 -0.96794188 -1.09334176 -55.458985 -62.643868
    Unten links KachelX 22671 KachelY + 1 47509 -0.96803775 -1.09338581 -55.464477 -62.646392
    Unten rechts KachelX + 1 22672 KachelY + 1 47509 -0.96794188 -1.09338581 -55.458985 -62.646392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09334176--1.09338581) × R
    4.40500000000732e-05 × 6371000     		dl = 280.642550000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09334176--1.09338581) × R
    4.40500000000732e-05 × 6371000     		dr = 280.642550000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96803775--0.96794188) × cos(-1.09334176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459519895664419 × 6371000     		do = 280.669132343497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96803775--0.96794188) × cos(-1.09338581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459480771441285 × 6371000     		du = 280.645235746496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09334176)-sin(-1.09338581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459519895664419-0.459480771441285)×R²
    abs(-0.96794188--0.96803775)×3.91242231336242e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91242231336242e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91242231336242e-05×40589641000000     		ar = 78764.3478187195m²