Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22671 / 47207
↖ ↑ ↗
← S 61.874281°
W 55.464477°		 ← 287.93 m → S 61.874281°
W 55.458985°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
S 61.876870°
W 55.464477°		 ← 287.91 m →
82 912 m²		 S 61.876870°
W 55.458985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345939636230469 y=0.720329284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345939636230469 × 216)
    floor (0.345939636230469 × 65536)
    floor (22671.5)     		tx = 22671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720329284667969 × 216)
    floor (0.720329284667969 × 65536)
    floor (47207.5)     		ty = 47207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22671 / 47207 ti = "16/22671/47207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22671/47207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22671 ÷ 216
    22671 ÷ 65536     		x = 0.345932006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47207 ÷ 216
    47207 ÷ 65536     		y = 0.720321655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345932006835938 × 2 - 1) × π
    -0.308135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96803775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720321655273438 × 2 - 1) × π
    -0.440643310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.38432178722798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96803775} λ = -0.96803775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38432178722798))-π/2
    2×atan(0.250493630173912)-π/2
    2×0.245443202242886-π/2
    0.490886404485772-1.57079632675     		φ = -1.07990992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96803775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.464477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07990992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.874281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22671 KachelY 47207 -0.96803775 -1.07990992 -55.464477 -61.874281
    Oben rechts KachelX + 1 22672 KachelY 47207 -0.96794188 -1.07990992 -55.458985 -61.874281
    Unten links KachelX 22671 KachelY + 1 47208 -0.96803775 -1.07995512 -55.464477 -61.876870
    Unten rechts KachelX + 1 22672 KachelY + 1 47208 -0.96794188 -1.07995512 -55.458985 -61.876870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07990992--1.07995512) × R
    4.51999999999675e-05 × 6371000     		dl = 287.969199999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07990992--1.07995512) × R
    4.51999999999675e-05 × 6371000     		dr = 287.969199999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96803775--0.96794188) × cos(-1.07990992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.471407809020602 × 6371000     		do = 287.930124432273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96803775--0.96794188) × cos(-1.07995512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.471367945965422 × 6371000     		du = 287.905776565694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07990992)-sin(-1.07995512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471407809020602-0.471367945965422)×R²
    abs(-0.96794188--0.96803775)×3.98630551802781e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98630551802781e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98630551802781e-05×40589641000000     		ar = 82911.5018850997m²