Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2267 / 6409
↖ ↑ ↗
← S 70.743478°
W 80.375977°		 ← 1 611.56 m → S 70.743478°
W 80.332031°		 →
↑
1 610.97 m
↓
↑
1 610.97 m
↓
S 70.757966°
W 80.375977°		 ← 1 610.39 m →
2 595 231 m²		 S 70.757966°
W 80.332031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27679443359375 y=0.78240966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27679443359375 × 213)
    floor (0.27679443359375 × 8192)
    floor (2267.5)     		tx = 2267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78240966796875 × 213)
    floor (0.78240966796875 × 8192)
    floor (6409.5)     		ty = 6409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2267 / 6409 ti = "13/2267/6409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2267/6409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2267 ÷ 213
    2267 ÷ 8192     		x = 0.2767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6409 ÷ 213
    6409 ÷ 8192     		y = 0.7823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40282543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77404878113904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40282543} λ = -1.40282543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77404878113904))-π/2
    2×atan(0.169644742053353)-π/2
    2×0.168044857520256-π/2
    0.336089715040512-1.57079632675     		φ = -1.23470661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40282543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.375977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23470661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.743478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2267 KachelY 6409 -1.40282543 -1.23470661 -80.375977 -70.743478
    Oben rechts KachelX + 1 2268 KachelY 6409 -1.40205844 -1.23470661 -80.332031 -70.743478
    Unten links KachelX 2267 KachelY + 1 6410 -1.40282543 -1.23495947 -80.375977 -70.757966
    Unten rechts KachelX + 1 2268 KachelY + 1 6410 -1.40205844 -1.23495947 -80.332031 -70.757966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23470661--1.23495947) × R
    0.000252860000000021 × 6371000     		dl = 1610.97106000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23470661--1.23495947) × R
    0.000252860000000021 × 6371000     		dr = 1610.97106000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40282543--1.40205844) × cos(-1.23470661) × R
    0.000766990000000023 × 0.329798114242072 × 6371000     		do = 1611.55627229859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40282543--1.40205844) × cos(-1.23495947) × R
    0.000766990000000023 × 0.329559390843107 × 6371000     		du = 1610.38975201138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23470661)-sin(-1.23495947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329798114242072-0.329559390843107)×R²
    abs(-1.40205844--1.40282543)×0.000238723398965579×R²
    0.000766990000000023×0.000238723398965579×6371000²
    0.000766990000000023×0.000238723398965579×40589641000000     		ar = 2595230.91485142m²