Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2267 / 1171
↖ ↑ ↗
← N 82.252818°
W130.187988°		 ← 329.35 m → N 82.252818°
W130.166016°		 →
↑
329.38 m
↓
↑
329.38 m
↓
N 82.249856°
W130.187988°		 ← 329.48 m →
108 502 m²		 N 82.249856°
W130.166016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138397216796875 y=0.071502685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138397216796875 × 214)
    floor (0.138397216796875 × 16384)
    floor (2267.5)     		tx = 2267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.071502685546875 × 214)
    floor (0.071502685546875 × 16384)
    floor (1171.5)     		ty = 1171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2267 / 1171 ti = "14/2267/1171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2267/1171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2267 ÷ 214
    2267 ÷ 16384     		x = 0.13836669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1171 ÷ 214
    1171 ÷ 16384     		y = 0.07147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13836669921875 × 2 - 1) × π
    -0.7232666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27220904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07147216796875 × 2 - 1) × π
    0.8570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69251977785931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27220904} λ = -2.27220904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69251977785931))-π/2
    2×atan(14.7688432783348)-π/2
    2×1.50318940920303-π/2
    3.00637881840606-1.57079632675     		φ = 1.43558249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27220904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.187988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43558249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.252818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2267 KachelY 1171 -2.27220904 1.43558249 -130.187988 82.252818
    Oben rechts KachelX + 1 2268 KachelY 1171 -2.27182555 1.43558249 -130.166016 82.252818
    Unten links KachelX 2267 KachelY + 1 1172 -2.27220904 1.43553079 -130.187988 82.249856
    Unten rechts KachelX + 1 2268 KachelY + 1 1172 -2.27182555 1.43553079 -130.166016 82.249856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43558249-1.43553079) × R
    5.16999999999879e-05 × 6371000     		dl = 329.380699999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43558249-1.43553079) × R
    5.16999999999879e-05 × 6371000     		dr = 329.380699999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27220904--2.27182555) × cos(1.43558249) × R
    0.000383489999999931 × 0.134802199093307 × 6371000     		do = 329.350726549233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27220904--2.27182555) × cos(1.43553079) × R
    0.000383489999999931 × 0.134853427022836 × 6371000     		du = 329.475887384319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43558249)-sin(1.43553079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134802199093307-0.134853427022836)×R²
    abs(-2.27182555--2.27220904)×5.12279295288021e-05×R²
    0.000383489999999931×5.12279295288021e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.12279295288021e-05×40589641000000     		ar = 108502.385661962m²