Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22669 / 47209
↖ ↑ ↗
← S 61.879460°
W 55.475464°		 ← 287.91 m → S 61.879460°
W 55.469970°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
S 61.882048°
W 55.475464°		 ← 287.89 m →
82 869 m²		 S 61.882048°
W 55.469970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345909118652344 y=0.720359802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345909118652344 × 216)
    floor (0.345909118652344 × 65536)
    floor (22669.5)     		tx = 22669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720359802246094 × 216)
    floor (0.720359802246094 × 65536)
    floor (47209.5)     		ty = 47209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22669 / 47209 ti = "16/22669/47209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22669/47209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22669 ÷ 216
    22669 ÷ 65536     		x = 0.345901489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47209 ÷ 216
    47209 ÷ 65536     		y = 0.720352172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345901489257812 × 2 - 1) × π
    -0.308197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96822950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720352172851562 × 2 - 1) × π
    -0.440704345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38451353482646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96822950} λ = -0.96822950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38451353482646))-π/2
    2×atan(0.250445603226565)-π/2
    2×0.245398010406694-π/2
    0.490796020813389-1.57079632675     		φ = -1.08000031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96822950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.475464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08000031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.879460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22669 KachelY 47209 -0.96822950 -1.08000031 -55.475464 -61.879460
    Oben rechts KachelX + 1 22670 KachelY 47209 -0.96813362 -1.08000031 -55.469970 -61.879460
    Unten links KachelX 22669 KachelY + 1 47210 -0.96822950 -1.08004549 -55.475464 -61.882048
    Unten rechts KachelX + 1 22670 KachelY + 1 47210 -0.96813362 -1.08004549 -55.469970 -61.882048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08000031--1.08004549) × R
    4.5180000000089e-05 × 6371000     		dl = 287.841780000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08000031--1.08004549) × R
    4.5180000000089e-05 × 6371000     		dr = 287.841780000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96822950--0.96813362) × cos(-1.08000031) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.471328090766797 × 6371000     		do = 287.911461810284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96822950--0.96813362) × cos(-1.08004549) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.471288243425449 × 6371000     		du = 287.887121002847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08000031)-sin(-1.08004549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471328090766797-0.471288243425449)×R²
    abs(-0.96813362--0.96822950)×3.98473413479872e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.98473413479872e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.98473413479872e-05×40589641000000     		ar = 82869.4445135382m²