Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22667 / 47542
↖ ↑ ↗
← S 62.729567°
W 55.486450°		 ← 279.89 m → S 62.729567°
W 55.480957°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
S 62.732084°
W 55.486450°		 ← 279.86 m →
78 331 m²		 S 62.732084°
W 55.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345878601074219 y=0.725440979003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345878601074219 × 216)
    floor (0.345878601074219 × 65536)
    floor (22667.5)     		tx = 22667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725440979003906 × 216)
    floor (0.725440979003906 × 65536)
    floor (47542.5)     		ty = 47542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22667 / 47542 ti = "16/22667/47542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22667/47542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22667 ÷ 216
    22667 ÷ 65536     		x = 0.345870971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47542 ÷ 216
    47542 ÷ 65536     		y = 0.725433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345870971679688 × 2 - 1) × π
    -0.308258056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96842125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725433349609375 × 2 - 1) × π
    -0.45086669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41643950997342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96842125} λ = -0.96842125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41643950997342))-π/2
    2×atan(0.242576171178543)-π/2
    2×0.237979418053293-π/2
    0.475958836106586-1.57079632675     		φ = -1.09483749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96842125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.486450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09483749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.729567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22667 KachelY 47542 -0.96842125 -1.09483749 -55.486450 -62.729567
    Oben rechts KachelX + 1 22668 KachelY 47542 -0.96832537 -1.09483749 -55.480957 -62.729567
    Unten links KachelX 22667 KachelY + 1 47543 -0.96842125 -1.09488142 -55.486450 -62.732084
    Unten rechts KachelX + 1 22668 KachelY + 1 47543 -0.96832537 -1.09488142 -55.480957 -62.732084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09483749--1.09488142) × R
    4.39300000001364e-05 × 6371000     		dl = 279.878030000869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09483749--1.09488142) × R
    4.39300000001364e-05 × 6371000     		dr = 279.878030000869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96842125--0.96832537) × cos(-1.09483749) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.458190923400076 × 6371000     		do = 279.886603681643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96842125--0.96832537) × cos(-1.09488142) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.458151875610537 × 6371000     		du = 279.862751281613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09483749)-sin(-1.09488142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458190923400076-0.458151875610537)×R²
    abs(-0.96832537--0.96842125)×3.90477895387265e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.90477895387265e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.90477895387265e-05×40589641000000     		ar = 78330.7733933136m²