Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22666 / 47547
↖ ↑ ↗
← S 62.742150°
W 55.491943°		 ← 279.74 m → S 62.742150°
W 55.486450°		 →
↑
279.69 m
↓
↑
279.69 m
↓
S 62.744665°
W 55.491943°		 ← 279.71 m →
78 236 m²		 S 62.744665°
W 55.486450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345863342285156 y=0.725517272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345863342285156 × 216)
    floor (0.345863342285156 × 65536)
    floor (22666.5)     		tx = 22666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725517272949219 × 216)
    floor (0.725517272949219 × 65536)
    floor (47547.5)     		ty = 47547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22666 / 47547 ti = "16/22666/47547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22666/47547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22666 ÷ 216
    22666 ÷ 65536     		x = 0.345855712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47547 ÷ 216
    47547 ÷ 65536     		y = 0.725509643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345855712890625 × 2 - 1) × π
    -0.30828857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96851712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725509643554688 × 2 - 1) × π
    -0.451019287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41691887896962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96851712} λ = -0.96851712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41691887896962))-π/2
    2×atan(0.242459915549761)-π/2
    2×0.237869620186303-π/2
    0.475739240372607-1.57079632675     		φ = -1.09505709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96851712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.491943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09505709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.742150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22666 KachelY 47547 -0.96851712 -1.09505709 -55.491943 -62.742150
    Oben rechts KachelX + 1 22667 KachelY 47547 -0.96842125 -1.09505709 -55.486450 -62.742150
    Unten links KachelX 22666 KachelY + 1 47548 -0.96851712 -1.09510099 -55.491943 -62.744665
    Unten rechts KachelX + 1 22667 KachelY + 1 47548 -0.96842125 -1.09510099 -55.486450 -62.744665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09505709--1.09510099) × R
    4.38999999998746e-05 × 6371000     		dl = 279.686899999201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09505709--1.09510099) × R
    4.38999999998746e-05 × 6371000     		dr = 279.686899999201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96851712--0.96842125) × cos(-1.09505709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.457995720059236 × 6371000     		do = 279.738184524519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96851712--0.96842125) × cos(-1.09510099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.457956694519882 × 6371000     		du = 279.714348202364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09505709)-sin(-1.09510099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457995720059236-0.457956694519882)×R²
    abs(-0.96842125--0.96851712)×3.90255393540317e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90255393540317e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90255393540317e-05×40589641000000     		ar = 78235.7723002262m²