Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22666 / 47254
↖ ↑ ↗
← S 61.995747°
W 55.491943°		 ← 286.79 m → S 61.995747°
W 55.486450°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
S 61.998326°
W 55.491943°		 ← 286.76 m →
82 254 m²		 S 61.998326°
W 55.486450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345863342285156 y=0.721046447753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345863342285156 × 216)
    floor (0.345863342285156 × 65536)
    floor (22666.5)     		tx = 22666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721046447753906 × 216)
    floor (0.721046447753906 × 65536)
    floor (47254.5)     		ty = 47254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22666 / 47254 ti = "16/22666/47254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22666/47254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22666 ÷ 216
    22666 ÷ 65536     		x = 0.345855712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47254 ÷ 216
    47254 ÷ 65536     		y = 0.721038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345855712890625 × 2 - 1) × π
    -0.30828857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96851712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.44207763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.38882785579227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96851712} λ = -0.96851712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38882785579227))-π/2
    2×atan(0.24936742797918)-π/2
    2×0.244383212668151-π/2
    0.488766425336302-1.57079632675     		φ = -1.08202990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96851712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.491943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08202990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.995747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22666 KachelY 47254 -0.96851712 -1.08202990 -55.491943 -61.995747
    Oben rechts KachelX + 1 22667 KachelY 47254 -0.96842125 -1.08202990 -55.486450 -61.995747
    Unten links KachelX 22666 KachelY + 1 47255 -0.96851712 -1.08207492 -55.491943 -61.998326
    Unten rechts KachelX + 1 22667 KachelY + 1 47255 -0.96842125 -1.08207492 -55.486450 -61.998326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08202990--1.08207492) × R
    4.50199999999512e-05 × 6371000     		dl = 286.822419999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08202990--1.08207492) × R
    4.50199999999512e-05 × 6371000     		dr = 286.822419999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96851712--0.96842125) × cos(-1.08202990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.469537108198504 × 6371000     		do = 286.787523248807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96851712--0.96842125) × cos(-1.08207492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.469497358991196 × 6371000     		du = 286.763244919116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08202990)-sin(-1.08207492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.469537108198504-0.469497358991196)×R²
    abs(-0.96842125--0.96851712)×3.97492073083705e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97492073083705e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97492073083705e-05×40589641000000     		ar = 82253.6096736084m²