Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22665 / 47544
↖ ↑ ↗
← S 62.734601°
W 55.497436°		 ← 279.81 m → S 62.734601°
W 55.491943°		 →
↑
279.81 m
↓
↑
279.81 m
↓
S 62.737117°
W 55.497436°		 ← 279.79 m →
78 291 m²		 S 62.737117°
W 55.491943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345848083496094 y=0.725471496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345848083496094 × 216)
    floor (0.345848083496094 × 65536)
    floor (22665.5)     		tx = 22665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725471496582031 × 216)
    floor (0.725471496582031 × 65536)
    floor (47544.5)     		ty = 47544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22665 / 47544 ti = "16/22665/47544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22665/47544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22665 ÷ 216
    22665 ÷ 65536     		x = 0.345840454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47544 ÷ 216
    47544 ÷ 65536     		y = 0.7254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345840454101562 × 2 - 1) × π
    -0.308319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96861299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.450927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4166312575719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96861299} λ = -0.96861299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4166312575719))-π/2
    2×atan(0.242529662239402)-π/2
    2×0.237935493292082-π/2
    0.475870986584164-1.57079632675     		φ = -1.09492534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96861299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.497436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09492534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.734601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22665 KachelY 47544 -0.96861299 -1.09492534 -55.497436 -62.734601
    Oben rechts KachelX + 1 22666 KachelY 47544 -0.96851712 -1.09492534 -55.491943 -62.734601
    Unten links KachelX 22665 KachelY + 1 47545 -0.96861299 -1.09496926 -55.497436 -62.737117
    Unten rechts KachelX + 1 22666 KachelY + 1 47545 -0.96851712 -1.09496926 -55.491943 -62.737117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09492534--1.09496926) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dl = 279.814319999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09492534--1.09496926) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dr = 279.814319999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96861299--0.96851712) × cos(-1.09492534) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458112835825777 × 6371000     		do = 279.809717402396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96861299--0.96851712) × cos(-1.09496926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458073795157332 × 6371000     		du = 279.785871839578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09492534)-sin(-1.09496926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458112835825777-0.458073795157332)×R²
    abs(-0.96851712--0.96861299)×3.90406684444566e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90406684444566e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90406684444566e-05×40589641000000     		ar = 78291.4296519465m²