Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22665 / 47543
↖ ↑ ↗
← S 62.732084°
W 55.497436°		 ← 279.83 m → S 62.732084°
W 55.491943°		 →
↑
279.81 m
↓
↑
279.81 m
↓
S 62.734601°
W 55.497436°		 ← 279.81 m →
78 298 m²		 S 62.734601°
W 55.491943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345848083496094 y=0.725456237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345848083496094 × 216)
    floor (0.345848083496094 × 65536)
    floor (22665.5)     		tx = 22665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725456237792969 × 216)
    floor (0.725456237792969 × 65536)
    floor (47543.5)     		ty = 47543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22665 / 47543 ti = "16/22665/47543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22665/47543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22665 ÷ 216
    22665 ÷ 65536     		x = 0.345840454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47543 ÷ 216
    47543 ÷ 65536     		y = 0.725448608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345840454101562 × 2 - 1) × π
    -0.308319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96861299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725448608398438 × 2 - 1) × π
    -0.450897216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41653538377266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96861299} λ = -0.96861299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41653538377266))-π/2
    2×atan(0.242552915594226)-π/2
    2×0.237957454736874-π/2
    0.475914909473747-1.57079632675     		φ = -1.09488142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96861299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.497436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09488142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.732084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22665 KachelY 47543 -0.96861299 -1.09488142 -55.497436 -62.732084
    Oben rechts KachelX + 1 22666 KachelY 47543 -0.96851712 -1.09488142 -55.491943 -62.732084
    Unten links KachelX 22665 KachelY + 1 47544 -0.96861299 -1.09492534 -55.497436 -62.734601
    Unten rechts KachelX + 1 22666 KachelY + 1 47544 -0.96851712 -1.09492534 -55.491943 -62.734601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09488142--1.09492534) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dl = 279.814319999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09488142--1.09492534) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dr = 279.814319999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96861299--0.96851712) × cos(-1.09488142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458151875610537 × 6371000     		do = 279.833562425471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96861299--0.96851712) × cos(-1.09492534) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458112835825777 × 6371000     		du = 279.809717402396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09488142)-sin(-1.09492534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458151875610537-0.458112835825777)×R²
    abs(-0.96851712--0.96861299)×3.90397847602197e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90397847602197e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90397847602197e-05×40589641000000     		ar = 78298.1019063991m²