Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22665 / 47450
↖ ↑ ↗
← S 62.497102°
W 55.497436°		 ← 282.06 m → S 62.497102°
W 55.491943°		 →
↑
282.04 m
↓
↑
282.04 m
↓
S 62.499638°
W 55.497436°		 ← 282.03 m →
79 549 m²		 S 62.499638°
W 55.491943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345848083496094 y=0.724037170410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345848083496094 × 216)
    floor (0.345848083496094 × 65536)
    floor (22665.5)     		tx = 22665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724037170410156 × 216)
    floor (0.724037170410156 × 65536)
    floor (47450.5)     		ty = 47450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22665 / 47450 ti = "16/22665/47450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22665/47450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22665 ÷ 216
    22665 ÷ 65536     		x = 0.345840454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47450 ÷ 216
    47450 ÷ 65536     		y = 0.724029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345840454101562 × 2 - 1) × π
    -0.308319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96861299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.44805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40761912044333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96861299} λ = -0.96861299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40761912044333))-π/2
    2×atan(0.244725251428469)-π/2
    2×0.24000806567404-π/2
    0.48001613134808-1.57079632675     		φ = -1.09078020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96861299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.497436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09078020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.497102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22665 KachelY 47450 -0.96861299 -1.09078020 -55.497436 -62.497102
    Oben rechts KachelX + 1 22666 KachelY 47450 -0.96851712 -1.09078020 -55.491943 -62.497102
    Unten links KachelX 22665 KachelY + 1 47451 -0.96861299 -1.09082447 -55.497436 -62.499638
    Unten rechts KachelX + 1 22666 KachelY + 1 47451 -0.96851712 -1.09082447 -55.491943 -62.499638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09078020--1.09082447) × R
    4.42700000000684e-05 × 6371000     		dl = 282.044170000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09078020--1.09082447) × R
    4.42700000000684e-05 × 6371000     		dr = 282.044170000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96861299--0.96851712) × cos(-1.09078020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461793479866628 × 6371000     		do = 282.057809768271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96861299--0.96851712) × cos(-1.09082447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461754212478575 × 6371000     		du = 282.033825727889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09078020)-sin(-1.09082447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461793479866628-0.461754212478575)×R²
    abs(-0.96851712--0.96861299)×3.92673880531547e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92673880531547e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92673880531547e-05×40589641000000     		ar = 79549.3785815827m²