Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22664 / 47545
↖ ↑ ↗
← S 62.737117°
W 55.502930°		 ← 279.82 m → S 62.737117°
W 55.497436°		 →
↑
279.75 m
↓
↑
279.75 m
↓
S 62.739633°
W 55.502930°		 ← 279.79 m →
78 275 m²		 S 62.739633°
W 55.497436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345832824707031 y=0.725486755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345832824707031 × 216)
    floor (0.345832824707031 × 65536)
    floor (22664.5)     		tx = 22664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725486755371094 × 216)
    floor (0.725486755371094 × 65536)
    floor (47545.5)     		ty = 47545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22664 / 47545 ti = "16/22664/47545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22664/47545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22664 ÷ 216
    22664 ÷ 65536     		x = 0.3458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47545 ÷ 216
    47545 ÷ 65536     		y = 0.725479125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.308349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96870887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725479125976562 × 2 - 1) × π
    -0.450958251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41672713137114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96870887} λ = -0.96870887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41672713137114))-π/2
    2×atan(0.24250641111386)-π/2
    2×0.237913533718801-π/2
    0.475827067437602-1.57079632675     		φ = -1.09496926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96870887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09496926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.737117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22664 KachelY 47545 -0.96870887 -1.09496926 -55.502930 -62.737117
    Oben rechts KachelX + 1 22665 KachelY 47545 -0.96861299 -1.09496926 -55.497436 -62.737117
    Unten links KachelX 22664 KachelY + 1 47546 -0.96870887 -1.09501317 -55.502930 -62.739633
    Unten rechts KachelX + 1 22665 KachelY + 1 47546 -0.96861299 -1.09501317 -55.497436 -62.739633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09496926--1.09501317) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dl = 279.750610000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09496926--1.09501317) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dr = 279.750610000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96870887--0.96861299) × cos(-1.09496926) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.458073795157332 × 6371000     		do = 279.815055721214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96870887--0.96861299) × cos(-1.09501317) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.458034762494622 × 6371000     		du = 279.791212561429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09496926)-sin(-1.09501317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458073795157332-0.458034762494622)×R²
    abs(-0.96861299--0.96870887)×3.9032662710603e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.9032662710603e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.9032662710603e-05×40589641000000     		ar = 78275.0974684414m²