Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22662 / 47534
↖ ↑ ↗
← S 62.709425°
W 55.513916°		 ← 280.08 m → S 62.709425°
W 55.508423°		 →
↑
280.07 m
↓
↑
280.07 m
↓
S 62.711944°
W 55.513916°		 ← 280.05 m →
78 438 m²		 S 62.711944°
W 55.508423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345802307128906 y=0.725318908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345802307128906 × 216)
    floor (0.345802307128906 × 65536)
    floor (22662.5)     		tx = 22662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725318908691406 × 216)
    floor (0.725318908691406 × 65536)
    floor (47534.5)     		ty = 47534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22662 / 47534 ti = "16/22662/47534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22662/47534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22662 ÷ 216
    22662 ÷ 65536     		x = 0.345794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47534 ÷ 216
    47534 ÷ 65536     		y = 0.725311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.30841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96890062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.45062255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4156725195795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96890062} λ = -0.96890062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4156725195795))-π/2
    2×atan(0.242762296140536)-π/2
    2×0.238155191977309-π/2
    0.476310383954617-1.57079632675     		φ = -1.09448594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96890062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.513916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09448594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.709425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22662 KachelY 47534 -0.96890062 -1.09448594 -55.513916 -62.709425
    Oben rechts KachelX + 1 22663 KachelY 47534 -0.96880474 -1.09448594 -55.508423 -62.709425
    Unten links KachelX 22662 KachelY + 1 47535 -0.96890062 -1.09452990 -55.513916 -62.711944
    Unten rechts KachelX + 1 22663 KachelY + 1 47535 -0.96880474 -1.09452990 -55.508423 -62.711944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09448594--1.09452990) × R
    4.3959999999954e-05 × 6371000     		dl = 280.069159999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09448594--1.09452990) × R
    4.3959999999954e-05 × 6371000     		dr = 280.069159999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96890062--0.96880474) × cos(-1.09448594) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.458503371633705 × 6371000     		do = 280.077463147255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96890062--0.96880474) × cos(-1.09452990) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.458464304261006 × 6371000     		du = 280.053598784822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09448594)-sin(-1.09452990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458503371633705-0.458464304261006)×R²
    abs(-0.96880474--0.96890062)×3.90673726984314e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.90673726984314e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.90673726984314e-05×40589641000000     		ar = 78437.718014991m²