Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2266 / 6534
↖ ↑ ↗
← S 72.475276°
W 80.419922°		 ← 1 471.41 m → S 72.475276°
W 80.375977°		 →
↑
1 470.87 m
↓
↑
1 470.87 m
↓
S 72.488504°
W 80.419922°		 ← 1 470.33 m →
2 163 462 m²		 S 72.488504°
W 80.375977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27667236328125 y=0.79766845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27667236328125 × 213)
    floor (0.27667236328125 × 8192)
    floor (2266.5)     		tx = 2266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79766845703125 × 213)
    floor (0.79766845703125 × 8192)
    floor (6534.5)     		ty = 6534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2266 / 6534 ti = "13/2266/6534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2266/6534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2266 ÷ 213
    2266 ÷ 8192     		x = 0.276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6534 ÷ 213
    6534 ÷ 8192     		y = 0.797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.44677734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40359242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.59521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86992258037915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40359242} λ = -1.40359242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86992258037915))-π/2
    2×atan(0.154135594472498)-π/2
    2×0.152932064446311-π/2
    0.305864128892622-1.57079632675     		φ = -1.26493220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40359242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.419922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26493220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.475276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2266 KachelY 6534 -1.40359242 -1.26493220 -80.419922 -72.475276
    Oben rechts KachelX + 1 2267 KachelY 6534 -1.40282543 -1.26493220 -80.375977 -72.475276
    Unten links KachelX 2266 KachelY + 1 6535 -1.40359242 -1.26516307 -80.419922 -72.488504
    Unten rechts KachelX + 1 2267 KachelY + 1 6535 -1.40282543 -1.26516307 -80.375977 -72.488504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26493220--1.26516307) × R
    0.000230869999999994 × 6371000     		dl = 1470.87276999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26493220--1.26516307) × R
    0.000230869999999994 × 6371000     		dr = 1470.87276999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40359242--1.40282543) × cos(-1.26493220) × R
    0.000766990000000023 × 0.301117307699907 × 6371000     		do = 1471.4077035785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40359242--1.40282543) × cos(-1.26516307) × R
    0.000766990000000023 × 0.300897145021989 × 6371000     		du = 1470.33188013015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26493220)-sin(-1.26516307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301117307699907-0.300897145021989)×R²
    abs(-1.40282543--1.40359242)×0.000220162677917801×R²
    0.000766990000000023×0.000220162677917801×6371000²
    0.000766990000000023×0.000220162677917801×40589641000000     		ar = 2163462.33466268m²