Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22656 / 39041
↖ ↑ ↗
← S 32.551444°
W 55.546875°		 ← 514.89 m → S 32.551444°
W 55.541382°		 →
↑
514.84 m
↓
↑
514.84 m
↓
S 32.556074°
W 55.546875°		 ← 514.87 m →
265 080 m²		 S 32.556074°
W 55.541382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345710754394531 y=0.595726013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345710754394531 × 216)
    floor (0.345710754394531 × 65536)
    floor (22656.5)     		tx = 22656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595726013183594 × 216)
    floor (0.595726013183594 × 65536)
    floor (39041.5)     		ty = 39041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22656 / 39041 ti = "16/22656/39041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22656/39041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22656 ÷ 216
    22656 ÷ 65536     		x = 0.345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39041 ÷ 216
    39041 ÷ 65536     		y = 0.595718383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345703125 × 2 - 1) × π
    -0.30859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96947586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595718383789062 × 2 - 1) × π
    -0.191436767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.601416342633225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96947586} λ = -0.96947586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601416342633225))-π/2
    2×atan(0.548034880981757)-π/2
    2×0.501333230478771-π/2
    1.00266646095754-1.57079632675     		φ = -0.56812987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96947586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56812987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.551444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22656 KachelY 39041 -0.96947586 -0.56812987 -55.546875 -32.551444
    Oben rechts KachelX + 1 22657 KachelY 39041 -0.96937998 -0.56812987 -55.541382 -32.551444
    Unten links KachelX 22656 KachelY + 1 39042 -0.96947586 -0.56821068 -55.546875 -32.556074
    Unten rechts KachelX + 1 22657 KachelY + 1 39042 -0.96937998 -0.56821068 -55.541382 -32.556074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56812987--0.56821068) × R
    8.08099999999312e-05 × 6371000     		dl = 514.840509999562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56812987--0.56821068) × R
    8.08099999999312e-05 × 6371000     		dr = 514.840509999562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96947586--0.96937998) × cos(-0.56812987) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.842908684431314 × 6371000     		do = 514.892017389383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96947586--0.96937998) × cos(-0.56821068) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.842865201321938 × 6371000     		du = 514.865455667666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56812987)-sin(-0.56821068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842908684431314-0.842865201321938)×R²
    abs(-0.96937998--0.96947586)×4.34831093757415e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.34831093757415e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.34831093757415e-05×40589641000000     		ar = 265080.431446318m²