Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22655 / 47219
↖ ↑ ↗
← S 61.905340°
W 55.552368°		 ← 287.64 m → S 61.905340°
W 55.546875°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
S 61.907926°
W 55.552368°		 ← 287.61 m →
82 717 m²		 S 61.907926°
W 55.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345695495605469 y=0.720512390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345695495605469 × 216)
    floor (0.345695495605469 × 65536)
    floor (22655.5)     		tx = 22655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720512390136719 × 216)
    floor (0.720512390136719 × 65536)
    floor (47219.5)     		ty = 47219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22655 / 47219 ti = "16/22655/47219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22655/47219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22655 ÷ 216
    22655 ÷ 65536     		x = 0.345687866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47219 ÷ 216
    47219 ÷ 65536     		y = 0.720504760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345687866210938 × 2 - 1) × π
    -0.308624267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96957173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720504760742188 × 2 - 1) × π
    -0.441009521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.38547227281886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96957173} λ = -0.96957173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38547227281886))-π/2
    2×atan(0.250205606577058)-π/2
    2×0.245172165835697-π/2
    0.490344331671393-1.57079632675     		φ = -1.08045200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96957173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.552368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08045200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.905340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22655 KachelY 47219 -0.96957173 -1.08045200 -55.552368 -61.905340
    Oben rechts KachelX + 1 22656 KachelY 47219 -0.96947586 -1.08045200 -55.546875 -61.905340
    Unten links KachelX 22655 KachelY + 1 47220 -0.96957173 -1.08049714 -55.552368 -61.907926
    Unten rechts KachelX + 1 22656 KachelY + 1 47220 -0.96947586 -1.08049714 -55.546875 -61.907926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08045200--1.08049714) × R
    4.51400000001101e-05 × 6371000     		dl = 287.586940000701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08045200--1.08049714) × R
    4.51400000001101e-05 × 6371000     		dr = 287.586940000701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96957173--0.96947586) × cos(-1.08045200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470929671111468 × 6371000     		do = 287.638083645001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96957173--0.96947586) × cos(-1.08049714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470889849443713 × 6371000     		du = 287.613761057355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08045200)-sin(-1.08049714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470929671111468-0.470889849443713)×R²
    abs(-0.96947586--0.96957173)×3.98216677545693e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98216677545693e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98216677545693e-05×40589641000000     		ar = 82717.4588875334m²