Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22654 / 47555
↖ ↑ ↗
← S 62.762269°
W 55.557862°		 ← 279.58 m → S 62.762269°
W 55.552368°		 →
↑
279.56 m
↓
↑
279.56 m
↓
S 62.764783°
W 55.557862°		 ← 279.55 m →
78 155 m²		 S 62.764783°
W 55.552368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345680236816406 y=0.725639343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345680236816406 × 216)
    floor (0.345680236816406 × 65536)
    floor (22654.5)     		tx = 22654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725639343261719 × 216)
    floor (0.725639343261719 × 65536)
    floor (47555.5)     		ty = 47555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22654 / 47555 ti = "16/22654/47555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22654/47555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22654 ÷ 216
    22654 ÷ 65536     		x = 0.345672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47555 ÷ 216
    47555 ÷ 65536     		y = 0.725631713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345672607421875 × 2 - 1) × π
    -0.30865478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96966761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725631713867188 × 2 - 1) × π
    -0.451263427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41768586936354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96966761} λ = -0.96966761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41768586936354))-π/2
    2×atan(0.242274022421859)-π/2
    2×0.237694040893316-π/2
    0.475388081786632-1.57079632675     		φ = -1.09540824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96966761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.557862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09540824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.762269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22654 KachelY 47555 -0.96966761 -1.09540824 -55.557862 -62.762269
    Oben rechts KachelX + 1 22655 KachelY 47555 -0.96957173 -1.09540824 -55.552368 -62.762269
    Unten links KachelX 22654 KachelY + 1 47556 -0.96966761 -1.09545212 -55.557862 -62.764783
    Unten rechts KachelX + 1 22655 KachelY + 1 47556 -0.96957173 -1.09545212 -55.552368 -62.764783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09540824--1.09545212) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dl = 279.559479999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09540824--1.09545212) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dr = 279.559479999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96966761--0.96957173) × cos(-1.09540824) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.457683535492169 × 6371000     		do = 279.576665027165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96966761--0.96957173) × cos(-1.09545212) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.457644520678001 × 6371000     		du = 279.552832770188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09540824)-sin(-1.09545212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457683535492169-0.457644520678001)×R²
    abs(-0.96957173--0.96966761)×3.90148141682367e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.90148141682367e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.90148141682367e-05×40589641000000     		ar = 78154.975840877m²