Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22654 / 10367
↖ ↑ ↗
← N 54.983918°
E 68.884277°		 ← 700.98 m → N 54.983918°
E 68.895264°		 →
↑
701.06 m
↓
↑
701.06 m
↓
N 54.977613°
E 68.884277°		 ← 701.09 m →
491 474 m²		 N 54.977613°
E 68.895264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691360473632812 y=0.316390991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691360473632812 × 215)
    floor (0.691360473632812 × 32768)
    floor (22654.5)     		tx = 22654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316390991210938 × 215)
    floor (0.316390991210938 × 32768)
    floor (10367.5)     		ty = 10367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22654 / 10367 ti = "15/22654/10367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22654/10367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22654 ÷ 215
    22654 ÷ 32768     		x = 0.69134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10367 ÷ 215
    10367 ÷ 32768     		y = 0.316375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69134521484375 × 2 - 1) × π
    0.3826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.20225744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316375732421875 × 2 - 1) × π
    0.36724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15374530005551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20225744} λ = 1.20225744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15374530005551))-π/2
    2×atan(3.17004346786526)-π/2
    2×1.26522336742251-π/2
    2.53044673484502-1.57079632675     		φ = 0.95965041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20225744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.884277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95965041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.983918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22654 KachelY 10367 1.20225744 0.95965041 68.884277 54.983918
    Oben rechts KachelX + 1 22655 KachelY 10367 1.20244919 0.95965041 68.895264 54.983918
    Unten links KachelX 22654 KachelY + 1 10368 1.20225744 0.95954037 68.884277 54.977613
    Unten rechts KachelX + 1 22655 KachelY + 1 10368 1.20244919 0.95954037 68.895264 54.977613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95965041-0.95954037) × R
    0.000110039999999922 × 6371000     		dl = 701.064839999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95965041-0.95954037) × R
    0.000110039999999922 × 6371000     		dr = 701.064839999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20225744-1.20244919) × cos(0.95965041) × R
    0.000191750000000157 × 0.573806332201139 × 6371000     		do = 700.984337316024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20225744-1.20244919) × cos(0.95954037) × R
    0.000191750000000157 × 0.573896450498898 × 6371000     		du = 701.09442936571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95965041)-sin(0.95954037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573806332201139-0.573896450498898)×R²
    abs(1.20244919-1.20225744)×9.01182977589565e-05×R²
    0.000191750000000157×9.01182977589565e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.01182977589565e-05×40589641000000     		ar = 491474.06361071m²