Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22653 / 47221
↖ ↑ ↗
← S 61.910513°
W 55.563355°		 ← 287.59 m → S 61.910513°
W 55.557862°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
S 61.913099°
W 55.563355°		 ← 287.57 m →
82 703 m²		 S 61.913099°
W 55.557862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345664978027344 y=0.720542907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345664978027344 × 216)
    floor (0.345664978027344 × 65536)
    floor (22653.5)     		tx = 22653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720542907714844 × 216)
    floor (0.720542907714844 × 65536)
    floor (47221.5)     		ty = 47221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22653 / 47221 ti = "16/22653/47221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22653/47221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22653 ÷ 216
    22653 ÷ 65536     		x = 0.345657348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47221 ÷ 216
    47221 ÷ 65536     		y = 0.720535278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345657348632812 × 2 - 1) × π
    -0.308685302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96976348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720535278320312 × 2 - 1) × π
    -0.441070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38566402041734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96976348} λ = -0.96976348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38566402041734))-π/2
    2×atan(0.250157634852249)-π/2
    2×0.245127019837025-π/2
    0.49025403967405-1.57079632675     		φ = -1.08054229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96976348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.563355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08054229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.910513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22653 KachelY 47221 -0.96976348 -1.08054229 -55.563355 -61.910513
    Oben rechts KachelX + 1 22654 KachelY 47221 -0.96966761 -1.08054229 -55.557862 -61.910513
    Unten links KachelX 22653 KachelY + 1 47222 -0.96976348 -1.08058743 -55.563355 -61.913099
    Unten rechts KachelX + 1 22654 KachelY + 1 47222 -0.96966761 -1.08058743 -55.557862 -61.913099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08054229--1.08058743) × R
    4.51400000001101e-05 × 6371000     		dl = 287.586940000701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08054229--1.08058743) × R
    4.51400000001101e-05 × 6371000     		dr = 287.586940000701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96976348--0.96966761) × cos(-1.08054229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470850017994332 × 6371000     		do = 287.589432495212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96976348--0.96966761) × cos(-1.08058743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470810194407457 × 6371000     		du = 287.565108735391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08054229)-sin(-1.08058743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470850017994332-0.470810194407457)×R²
    abs(-0.96966761--0.96976348)×3.98235868747654e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98235868747654e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98235868747654e-05×40589641000000     		ar = 82703.4672840028m²