Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22652 / 47220
↖ ↑ ↗
← S 61.907926°
W 55.568847°		 ← 287.61 m → S 61.907926°
W 55.563355°		 →
↑
287.65 m
↓
↑
287.65 m
↓
S 61.910513°
W 55.568847°		 ← 287.59 m →
82 729 m²		 S 61.910513°
W 55.563355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345649719238281 y=0.720527648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345649719238281 × 216)
    floor (0.345649719238281 × 65536)
    floor (22652.5)     		tx = 22652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720527648925781 × 216)
    floor (0.720527648925781 × 65536)
    floor (47220.5)     		ty = 47220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22652 / 47220 ti = "16/22652/47220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22652/47220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22652 ÷ 216
    22652 ÷ 65536     		x = 0.34564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47220 ÷ 216
    47220 ÷ 65536     		y = 0.72052001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.3087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96985935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.4410400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.3855681466181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96985935} λ = -0.96985935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3855681466181))-π/2
    2×atan(0.250181619564846)-π/2
    2×0.245149591881759-π/2
    0.490299183763517-1.57079632675     		φ = -1.08049714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96985935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.568847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08049714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.907926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22652 KachelY 47220 -0.96985935 -1.08049714 -55.568847 -61.907926
    Oben rechts KachelX + 1 22653 KachelY 47220 -0.96976348 -1.08049714 -55.563355 -61.907926
    Unten links KachelX 22652 KachelY + 1 47221 -0.96985935 -1.08054229 -55.568847 -61.910513
    Unten rechts KachelX + 1 22653 KachelY + 1 47221 -0.96976348 -1.08054229 -55.563355 -61.910513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08049714--1.08054229) × R
    4.51499999998273e-05 × 6371000     		dl = 287.6506499989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08049714--1.08054229) × R
    4.51499999998273e-05 × 6371000     		dr = 287.6506499989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96985935--0.96976348) × cos(-1.08049714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470889849443713 × 6371000     		do = 287.613761057355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96985935--0.96976348) × cos(-1.08054229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470850017994332 × 6371000     		du = 287.589432495212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08049714)-sin(-1.08054229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470889849443713-0.470850017994332)×R²
    abs(-0.96976348--0.96985935)×3.98314493813556e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98314493813556e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98314493813556e-05×40589641000000     		ar = 82728.786267674m²