Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2265 / 6555
↖ ↑ ↗
← S 72.751039°
W 80.463867°		 ← 1 448.96 m → S 72.751039°
W 80.419922°		 →
↑
1 448.45 m
↓
↑
1 448.45 m
↓
S 72.764065°
W 80.463867°		 ← 1 447.90 m →
2 097 979 m²		 S 72.764065°
W 80.419922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27655029296875 y=0.80023193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27655029296875 × 213)
    floor (0.27655029296875 × 8192)
    floor (2265.5)     		tx = 2265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80023193359375 × 213)
    floor (0.80023193359375 × 8192)
    floor (6555.5)     		ty = 6555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2265 / 6555 ti = "13/2265/6555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2265/6555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2265 ÷ 213
    2265 ÷ 8192     		x = 0.2764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6555 ÷ 213
    6555 ÷ 8192     		y = 0.8001708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.447021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40435941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8001708984375 × 2 - 1) × π
    -0.600341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88602937865149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40435941} λ = -1.40435941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88602937865149))-π/2
    2×atan(0.151672850249969)-π/2
    2×0.150525584119943-π/2
    0.301051168239887-1.57079632675     		φ = -1.26974516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40435941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.463867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26974516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.751039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2265 KachelY 6555 -1.40435941 -1.26974516 -80.463867 -72.751039
    Oben rechts KachelX + 1 2266 KachelY 6555 -1.40359242 -1.26974516 -80.419922 -72.751039
    Unten links KachelX 2265 KachelY + 1 6556 -1.40435941 -1.26997251 -80.463867 -72.764065
    Unten rechts KachelX + 1 2266 KachelY + 1 6556 -1.40359242 -1.26997251 -80.419922 -72.764065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26974516--1.26997251) × R
    0.000227350000000071 × 6371000     		dl = 1448.44685000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26974516--1.26997251) × R
    0.000227350000000071 × 6371000     		dr = 1448.44685000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40435941--1.40359242) × cos(-1.26974516) × R
    0.000766990000000023 × 0.296524261203974 × 6371000     		do = 1448.96381269547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40435941--1.40359242) × cos(-1.26997251) × R
    0.000766990000000023 × 0.296307128535886 × 6371000     		du = 1447.90279536982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26974516)-sin(-1.26997251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296524261203974-0.296307128535886)×R²
    abs(-1.40359242--1.40435941)×0.000217132668088427×R²
    0.000766990000000023×0.000217132668088427×6371000²
    0.000766990000000023×0.000217132668088427×40589641000000     		ar = 2097978.66569855m²