Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22649 / 47559
↖ ↑ ↗
← S 62.772324°
W 55.585327°		 ← 279.45 m → S 62.772324°
W 55.579834°		 →
↑
279.50 m
↓
↑
279.50 m
↓
S 62.774837°
W 55.585327°		 ← 279.43 m →
78 102 m²		 S 62.774837°
W 55.579834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345603942871094 y=0.725700378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345603942871094 × 216)
    floor (0.345603942871094 × 65536)
    floor (22649.5)     		tx = 22649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725700378417969 × 216)
    floor (0.725700378417969 × 65536)
    floor (47559.5)     		ty = 47559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22649 / 47559 ti = "16/22649/47559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22649/47559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22649 ÷ 216
    22649 ÷ 65536     		x = 0.345596313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47559 ÷ 216
    47559 ÷ 65536     		y = 0.725692749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345596313476562 × 2 - 1) × π
    -0.308807373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97014697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725692749023438 × 2 - 1) × π
    -0.451385498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4180693645605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97014697} λ = -0.97014697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4180693645605))-π/2
    2×atan(0.242181129311081)-π/2
    2×0.237606296135902-π/2
    0.475212592271805-1.57079632675     		φ = -1.09558373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97014697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.585327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09558373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.772324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22649 KachelY 47559 -0.97014697 -1.09558373 -55.585327 -62.772324
    Oben rechts KachelX + 1 22650 KachelY 47559 -0.97005110 -1.09558373 -55.579834 -62.772324
    Unten links KachelX 22649 KachelY + 1 47560 -0.97014697 -1.09562760 -55.585327 -62.774837
    Unten rechts KachelX + 1 22650 KachelY + 1 47560 -0.97005110 -1.09562760 -55.579834 -62.774837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09558373--1.09562760) × R
    4.38700000000569e-05 × 6371000     		dl = 279.495770000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09558373--1.09562760) × R
    4.38700000000569e-05 × 6371000     		dr = 279.495770000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97014697--0.97005110) × cos(-1.09558373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.45752749762462 × 6371000     		do = 279.452199987816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97014697--0.97005110) × cos(-1.09562760) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.457488488178965 × 6371000     		du = 279.428373495495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09558373)-sin(-1.09562760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45752749762462-0.457488488178965)×R²
    abs(-0.97005110--0.97014697)×3.90094456544365e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90094456544365e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90094456544365e-05×40589641000000     		ar = 78102.3781243723m²