Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22648 / 47569
↖ ↑ ↗
← S 62.797446°
W 55.590820°		 ← 279.24 m → S 62.797446°
W 55.585327°		 →
↑
279.18 m
↓
↑
279.18 m
↓
S 62.799957°
W 55.590820°		 ← 279.22 m →
77 955 m²		 S 62.799957°
W 55.585327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345588684082031 y=0.725852966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345588684082031 × 216)
    floor (0.345588684082031 × 65536)
    floor (22648.5)     		tx = 22648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725852966308594 × 216)
    floor (0.725852966308594 × 65536)
    floor (47569.5)     		ty = 47569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22648 / 47569 ti = "16/22648/47569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22648/47569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22648 ÷ 216
    22648 ÷ 65536     		x = 0.3455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47569 ÷ 216
    47569 ÷ 65536     		y = 0.725845336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97024285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725845336914062 × 2 - 1) × π
    -0.451690673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4190281025529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97024285} λ = -0.97024285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4190281025529))-π/2
    2×atan(0.241949052329654)-π/2
    2×0.237387065108693-π/2
    0.474774130217386-1.57079632675     		φ = -1.09602220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97024285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09602220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.797446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22648 KachelY 47569 -0.97024285 -1.09602220 -55.590820 -62.797446
    Oben rechts KachelX + 1 22649 KachelY 47569 -0.97014697 -1.09602220 -55.585327 -62.797446
    Unten links KachelX 22648 KachelY + 1 47570 -0.97024285 -1.09606602 -55.590820 -62.799957
    Unten rechts KachelX + 1 22649 KachelY + 1 47570 -0.97014697 -1.09606602 -55.585327 -62.799957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09602220--1.09606602) × R
    4.38200000001387e-05 × 6371000     		dl = 279.177220000884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09602220--1.09606602) × R
    4.38200000001387e-05 × 6371000     		dr = 279.177220000884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97024285--0.97014697) × cos(-1.09602220) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.457137568116948 × 6371000     		do = 279.243160047655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97024285--0.97014697) × cos(-1.09606602) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.457098594345369 × 6371000     		du = 279.219352861605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09602220)-sin(-1.09606602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457137568116948-0.457098594345369)×R²
    abs(-0.97014697--0.97024285)×3.89737715790761e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.89737715790761e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.89737715790761e-05×40589641000000     		ar = 77955.0059267161m²