Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22648 / 47553
↖ ↑ ↗
← S 62.757241°
W 55.590820°		 ← 279.62 m → S 62.757241°
W 55.585327°		 →
↑
279.56 m
↓
↑
279.56 m
↓
S 62.759755°
W 55.590820°		 ← 279.60 m →
78 168 m²		 S 62.759755°
W 55.585327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345588684082031 y=0.725608825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345588684082031 × 216)
    floor (0.345588684082031 × 65536)
    floor (22648.5)     		tx = 22648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725608825683594 × 216)
    floor (0.725608825683594 × 65536)
    floor (47553.5)     		ty = 47553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22648 / 47553 ti = "16/22648/47553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22648/47553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22648 ÷ 216
    22648 ÷ 65536     		x = 0.3455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47553 ÷ 216
    47553 ÷ 65536     		y = 0.725601196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97024285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725601196289062 × 2 - 1) × π
    -0.451202392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41749412176506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97024285} λ = -0.97024285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41749412176506))-π/2
    2×atan(0.242320482337978)-π/2
    2×0.237737924492887-π/2
    0.475475848985774-1.57079632675     		φ = -1.09532048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97024285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09532048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.757241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22648 KachelY 47553 -0.97024285 -1.09532048 -55.590820 -62.757241
    Oben rechts KachelX + 1 22649 KachelY 47553 -0.97014697 -1.09532048 -55.585327 -62.757241
    Unten links KachelX 22648 KachelY + 1 47554 -0.97024285 -1.09536436 -55.590820 -62.759755
    Unten rechts KachelX + 1 22649 KachelY + 1 47554 -0.97014697 -1.09536436 -55.585327 -62.759755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09532048--1.09536436) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dl = 279.559479999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09532048--1.09536436) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dr = 279.559479999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97024285--0.97014697) × cos(-1.09532048) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.457761562476684 × 6371000     		do = 279.624327925812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97024285--0.97014697) × cos(-1.09536436) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.457722549425089 × 6371000     		du = 279.600496745505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09532048)-sin(-1.09536436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457761562476684-0.457722549425089)×R²
    abs(-0.97014697--0.97024285)×3.90130515954823e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.90130515954823e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.90130515954823e-05×40589641000000     		ar = 78168.3006065251m²