Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22647 / 47551
↖ ↑ ↗
← S 62.752211°
W 55.596313°		 ← 279.64 m → S 62.752211°
W 55.590820°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
S 62.754726°
W 55.596313°		 ← 279.62 m →
78 191 m²		 S 62.754726°
W 55.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345573425292969 y=0.725578308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345573425292969 × 216)
    floor (0.345573425292969 × 65536)
    floor (22647.5)     		tx = 22647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725578308105469 × 216)
    floor (0.725578308105469 × 65536)
    floor (47551.5)     		ty = 47551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22647 / 47551 ti = "16/22647/47551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22647/47551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22647 ÷ 216
    22647 ÷ 65536     		x = 0.345565795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47551 ÷ 216
    47551 ÷ 65536     		y = 0.725570678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345565795898438 × 2 - 1) × π
    -0.308868408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97033872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725570678710938 × 2 - 1) × π
    -0.451141357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41730237416658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97033872} λ = -0.97033872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41730237416658))-π/2
    2×atan(0.24236695116353)-π/2
    2×0.237781815574284-π/2
    0.475563631148567-1.57079632675     		φ = -1.09523270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97033872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.596313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09523270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.752211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22647 KachelY 47551 -0.97033872 -1.09523270 -55.596313 -62.752211
    Oben rechts KachelX + 1 22648 KachelY 47551 -0.97024285 -1.09523270 -55.590820 -62.752211
    Unten links KachelX 22647 KachelY + 1 47552 -0.97033872 -1.09527659 -55.596313 -62.754726
    Unten rechts KachelX + 1 22648 KachelY + 1 47552 -0.97024285 -1.09527659 -55.590820 -62.754726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09523270--1.09527659) × R
    4.38900000001574e-05 × 6371000     		dl = 279.623190001003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09523270--1.09527659) × R
    4.38900000001574e-05 × 6371000     		dr = 279.623190001003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97033872--0.97024285) × cos(-1.09523270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4578396037163 × 6371000     		do = 279.642830571556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97033872--0.97024285) × cos(-1.09527659) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.45780058353743 × 6371000     		du = 279.618997523519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09523270)-sin(-1.09527659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4578396037163-0.45780058353743)×R²
    abs(-0.97024285--0.97033872)×3.90201788698086e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90201788698086e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90201788698086e-05×40589641000000     		ar = 78191.2882212614m²