Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22646 / 47674
↖ ↑ ↗
← S 63.059937°
W 55.601807°		 ← 276.75 m → S 63.059937°
W 55.596313°		 →
↑
276.69 m
↓
↑
276.69 m
↓
S 63.062426°
W 55.601807°		 ← 276.73 m →
76 572 m²		 S 63.062426°
W 55.596313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345558166503906 y=0.727455139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345558166503906 × 216)
    floor (0.345558166503906 × 65536)
    floor (22646.5)     		tx = 22646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727455139160156 × 216)
    floor (0.727455139160156 × 65536)
    floor (47674.5)     		ty = 47674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22646 / 47674 ti = "16/22646/47674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22646/47674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22646 ÷ 216
    22646 ÷ 65536     		x = 0.345550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47674 ÷ 216
    47674 ÷ 65536     		y = 0.727447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.30889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97043460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.45489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42909485147311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97043460} λ = -0.97043460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42909485147311))-π/2
    2×atan(0.239525630423944)-π/2
    2×0.235096398445196-π/2
    0.470192796890391-1.57079632675     		φ = -1.10060353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97043460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.601807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10060353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.059937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22646 KachelY 47674 -0.97043460 -1.10060353 -55.601807 -63.059937
    Oben rechts KachelX + 1 22647 KachelY 47674 -0.97033872 -1.10060353 -55.596313 -63.059937
    Unten links KachelX 22646 KachelY + 1 47675 -0.97043460 -1.10064696 -55.601807 -63.062426
    Unten rechts KachelX + 1 22647 KachelY + 1 47675 -0.97033872 -1.10064696 -55.596313 -63.062426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10060353--1.10064696) × R
    4.34299999998444e-05 × 6371000     		dl = 276.692529999009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10060353--1.10064696) × R
    4.34299999998444e-05 × 6371000     		dr = 276.692529999009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97043460--0.97033872) × cos(-1.10060353) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.45305816846937 × 6371000     		do = 276.751252735743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97043460--0.97033872) × cos(-1.10064696) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.453019451024166 × 6371000     		du = 276.727602127038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10060353)-sin(-1.10064696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45305816846937-0.453019451024166)×R²
    abs(-0.97033872--0.97043460)×3.87174452041172e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.87174452041172e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.87174452041172e-05×40589641000000     		ar = 76571.7323388208m²