Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22646 / 47550
↖ ↑ ↗
← S 62.749696°
W 55.601807°		 ← 279.70 m → S 62.749696°
W 55.596313°		 →
↑
279.69 m
↓
↑
279.69 m
↓
S 62.752211°
W 55.601807°		 ← 279.67 m →
78 224 m²		 S 62.752211°
W 55.596313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345558166503906 y=0.725563049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345558166503906 × 216)
    floor (0.345558166503906 × 65536)
    floor (22646.5)     		tx = 22646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725563049316406 × 216)
    floor (0.725563049316406 × 65536)
    floor (47550.5)     		ty = 47550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22646 / 47550 ti = "16/22646/47550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22646/47550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22646 ÷ 216
    22646 ÷ 65536     		x = 0.345550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47550 ÷ 216
    47550 ÷ 65536     		y = 0.725555419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.30889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97043460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.45111083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41720650036734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97043460} λ = -0.97043460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41720650036734))-π/2
    2×atan(0.242390188917876)-π/2
    2×0.23780376392096-π/2
    0.475607527841919-1.57079632675     		φ = -1.09518880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97043460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.601807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09518880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.749696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22646 KachelY 47550 -0.97043460 -1.09518880 -55.601807 -62.749696
    Oben rechts KachelX + 1 22647 KachelY 47550 -0.97033872 -1.09518880 -55.596313 -62.749696
    Unten links KachelX 22646 KachelY + 1 47551 -0.97043460 -1.09523270 -55.601807 -62.752211
    Unten rechts KachelX + 1 22647 KachelY + 1 47551 -0.97033872 -1.09523270 -55.596313 -62.752211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09518880--1.09523270) × R
    4.38999999998746e-05 × 6371000     		dl = 279.686899999201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09518880--1.09523270) × R
    4.38999999998746e-05 × 6371000     		dr = 279.686899999201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97043460--0.97033872) × cos(-1.09518880) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.457878631903365 × 6371000     		do = 279.695839958686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97043460--0.97033872) × cos(-1.09523270) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.4578396037163 × 6371000     		du = 279.671999532856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09518880)-sin(-1.09523270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457878631903365-0.4578396037163)×R²
    abs(-0.97033872--0.97043460)×3.90281870655262e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.90281870655262e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.90281870655262e-05×40589641000000     		ar = 78223.9285061147m²