Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22646 / 47226
↖ ↑ ↗
← S 61.923442°
W 55.601807°		 ← 287.50 m → S 61.923442°
W 55.596313°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
S 61.926027°
W 55.601807°		 ← 287.47 m →
82 640 m²		 S 61.926027°
W 55.596313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345558166503906 y=0.720619201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345558166503906 × 216)
    floor (0.345558166503906 × 65536)
    floor (22646.5)     		tx = 22646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720619201660156 × 216)
    floor (0.720619201660156 × 65536)
    floor (47226.5)     		ty = 47226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22646 / 47226 ti = "16/22646/47226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22646/47226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22646 ÷ 216
    22646 ÷ 65536     		x = 0.345550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47226 ÷ 216
    47226 ÷ 65536     		y = 0.720611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.30889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97043460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.44122314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38614338941354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97043460} λ = -0.97043460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38614338941354))-π/2
    2×atan(0.250037745775787)-π/2
    2×0.245014188247373-π/2
    0.490028376494746-1.57079632675     		φ = -1.08076795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97043460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.601807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08076795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.923442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22646 KachelY 47226 -0.97043460 -1.08076795 -55.601807 -61.923442
    Oben rechts KachelX + 1 22647 KachelY 47226 -0.97033872 -1.08076795 -55.596313 -61.923442
    Unten links KachelX 22646 KachelY + 1 47227 -0.97043460 -1.08081307 -55.601807 -61.926027
    Unten rechts KachelX + 1 22647 KachelY + 1 47227 -0.97033872 -1.08081307 -55.596313 -61.926027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08076795--1.08081307) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08076795--1.08081307) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97043460--0.97033872) × cos(-1.08076795) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.47065092576023 × 6371000     		do = 287.497814564151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97043460--0.97033872) × cos(-1.08081307) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.470611115025171 × 6371000     		du = 287.47349611772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08076795)-sin(-1.08081307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47065092576023-0.470611115025171)×R²
    abs(-0.97033872--0.97043460)×3.98107350588761e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.98107350588761e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.98107350588761e-05×40589641000000     		ar = 82640.4885052774m²