Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22645 / 47237
↖ ↑ ↗
← S 61.951868°
W 55.607300°		 ← 287.20 m → S 61.951868°
W 55.601807°		 →
↑
287.20 m
↓
↑
287.20 m
↓
S 61.954451°
W 55.607300°		 ← 287.18 m →
82 482 m²		 S 61.954451°
W 55.601807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345542907714844 y=0.720787048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345542907714844 × 216)
    floor (0.345542907714844 × 65536)
    floor (22645.5)     		tx = 22645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720787048339844 × 216)
    floor (0.720787048339844 × 65536)
    floor (47237.5)     		ty = 47237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22645 / 47237 ti = "16/22645/47237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22645/47237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22645 ÷ 216
    22645 ÷ 65536     		x = 0.345535278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47237 ÷ 216
    47237 ÷ 65536     		y = 0.720779418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345535278320312 × 2 - 1) × π
    -0.308929443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97053047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720779418945312 × 2 - 1) × π
    -0.441558837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38719800120518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97053047} λ = -0.97053047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38719800120518))-π/2
    2×atan(0.249774192018614)-π/2
    2×0.244766126678777-π/2
    0.489532253357554-1.57079632675     		φ = -1.08126407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97053047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.607300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08126407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.951868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22645 KachelY 47237 -0.97053047 -1.08126407 -55.607300 -61.951868
    Oben rechts KachelX + 1 22646 KachelY 47237 -0.97043460 -1.08126407 -55.601807 -61.951868
    Unten links KachelX 22645 KachelY + 1 47238 -0.97053047 -1.08130915 -55.607300 -61.954451
    Unten rechts KachelX + 1 22646 KachelY + 1 47238 -0.97043460 -1.08130915 -55.601807 -61.954451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08126407--1.08130915) × R
    4.50800000000307e-05 × 6371000     		dl = 287.204680000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08126407--1.08130915) × R
    4.50800000000307e-05 × 6371000     		dr = 287.204680000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97053047--0.97043460) × cos(-1.08126407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470213131504316 × 6371000     		do = 287.200430016231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97053047--0.97043460) × cos(-1.08130915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470173345542076 × 6371000     		du = 287.176129237078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08126407)-sin(-1.08130915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470213131504316-0.470173345542076)×R²
    abs(-0.97043460--0.97053047)×3.97859622396357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97859622396357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97859622396357e-05×40589641000000     		ar = 82481.817963975m²