Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22644 / 47236
↖ ↑ ↗
← S 61.949285°
W 55.612793°		 ← 287.22 m → S 61.949285°
W 55.607300°		 →
↑
287.20 m
↓
↑
287.20 m
↓
S 61.951868°
W 55.612793°		 ← 287.20 m →
82 489 m²		 S 61.951868°
W 55.607300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345527648925781 y=0.720771789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345527648925781 × 216)
    floor (0.345527648925781 × 65536)
    floor (22644.5)     		tx = 22644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720771789550781 × 216)
    floor (0.720771789550781 × 65536)
    floor (47236.5)     		ty = 47236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22644 / 47236 ti = "16/22644/47236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22644/47236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22644 ÷ 216
    22644 ÷ 65536     		x = 0.34552001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47236 ÷ 216
    47236 ÷ 65536     		y = 0.72076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34552001953125 × 2 - 1) × π
    -0.3089599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97062634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72076416015625 × 2 - 1) × π
    -0.4415283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38710212740594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97062634} λ = -0.97062634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38710212740594))-π/2
    2×atan(0.249798139967327)-π/2
    2×0.244788668191956-π/2
    0.489577336383911-1.57079632675     		φ = -1.08121899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97062634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08121899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.949285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22644 KachelY 47236 -0.97062634 -1.08121899 -55.612793 -61.949285
    Oben rechts KachelX + 1 22645 KachelY 47236 -0.97053047 -1.08121899 -55.607300 -61.949285
    Unten links KachelX 22644 KachelY + 1 47237 -0.97062634 -1.08126407 -55.612793 -61.951868
    Unten rechts KachelX + 1 22645 KachelY + 1 47237 -0.97053047 -1.08126407 -55.607300 -61.951868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08121899--1.08126407) × R
    4.50800000000307e-05 × 6371000     		dl = 287.204680000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08121899--1.08126407) × R
    4.50800000000307e-05 × 6371000     		dr = 287.204680000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97062634--0.97053047) × cos(-1.08121899) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470252916510985 × 6371000     		do = 287.224730211734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97062634--0.97053047) × cos(-1.08126407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470213131504316 × 6371000     		du = 287.200430016231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08121899)-sin(-1.08126407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470252916510985-0.470213131504316)×R²
    abs(-0.97053047--0.97062634)×3.97850066694572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97850066694572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97850066694572e-05×40589641000000     		ar = 82488.7971777356m²