Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22642 / 47234
↖ ↑ ↗
← S 61.944118°
W 55.623779°		 ← 287.27 m → S 61.944118°
W 55.618286°		 →
↑
287.27 m
↓
↑
287.27 m
↓
S 61.946701°
W 55.623779°		 ← 287.25 m →
82 521 m²		 S 61.946701°
W 55.618286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345497131347656 y=0.720741271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345497131347656 × 216)
    floor (0.345497131347656 × 65536)
    floor (22642.5)     		tx = 22642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720741271972656 × 216)
    floor (0.720741271972656 × 65536)
    floor (47234.5)     		ty = 47234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22642 / 47234 ti = "16/22642/47234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22642/47234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22642 ÷ 216
    22642 ÷ 65536     		x = 0.345489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47234 ÷ 216
    47234 ÷ 65536     		y = 0.720733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.30902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97081809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.44146728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38691037980746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97081809} λ = -0.97081809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38691037980746))-π/2
    2×atan(0.249846042753246)-π/2
    2×0.244833756940496-π/2
    0.489667513880992-1.57079632675     		φ = -1.08112881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97081809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.623779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08112881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.944118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22642 KachelY 47234 -0.97081809 -1.08112881 -55.623779 -61.944118
    Oben rechts KachelX + 1 22643 KachelY 47234 -0.97072222 -1.08112881 -55.618286 -61.944118
    Unten links KachelX 22642 KachelY + 1 47235 -0.97081809 -1.08117390 -55.623779 -61.946701
    Unten rechts KachelX + 1 22643 KachelY + 1 47235 -0.97072222 -1.08117390 -55.618286 -61.946701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08112881--1.08117390) × R
    4.50899999999699e-05 × 6371000     		dl = 287.268389999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08112881--1.08117390) × R
    4.50899999999699e-05 × 6371000     		dr = 287.268389999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97081809--0.97072222) × cos(-1.08112881) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470332501307076 × 6371000     		do = 287.273339631865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97081809--0.97072222) × cos(-1.08117390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470292709387108 × 6371000     		du = 287.249035213804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08112881)-sin(-1.08117390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470332501307076-0.470292709387108)×R²
    abs(-0.97072222--0.97081809)×3.97919199674468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97919199674468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97919199674468e-05×40589641000000     		ar = 82521.0588345527m²