Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22640 / 47234
↖ ↑ ↗
← S 61.944118°
W 55.634766°		 ← 287.30 m → S 61.944118°
W 55.629272°		 →
↑
287.27 m
↓
↑
287.27 m
↓
S 61.946701°
W 55.634766°		 ← 287.28 m →
82 530 m²		 S 61.946701°
W 55.629272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345466613769531 y=0.720741271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345466613769531 × 216)
    floor (0.345466613769531 × 65536)
    floor (22640.5)     		tx = 22640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720741271972656 × 216)
    floor (0.720741271972656 × 65536)
    floor (47234.5)     		ty = 47234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22640 / 47234 ti = "16/22640/47234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22640/47234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22640 ÷ 216
    22640 ÷ 65536     		x = 0.345458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47234 ÷ 216
    47234 ÷ 65536     		y = 0.720733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345458984375 × 2 - 1) × π
    -0.30908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97100984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.44146728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38691037980746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97100984} λ = -0.97100984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38691037980746))-π/2
    2×atan(0.249846042753246)-π/2
    2×0.244833756940496-π/2
    0.489667513880992-1.57079632675     		φ = -1.08112881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97100984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08112881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.944118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22640 KachelY 47234 -0.97100984 -1.08112881 -55.634766 -61.944118
    Oben rechts KachelX + 1 22641 KachelY 47234 -0.97091396 -1.08112881 -55.629272 -61.944118
    Unten links KachelX 22640 KachelY + 1 47235 -0.97100984 -1.08117390 -55.634766 -61.946701
    Unten rechts KachelX + 1 22641 KachelY + 1 47235 -0.97091396 -1.08117390 -55.629272 -61.946701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08112881--1.08117390) × R
    4.50899999999699e-05 × 6371000     		dl = 287.268389999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08112881--1.08117390) × R
    4.50899999999699e-05 × 6371000     		dr = 287.268389999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97100984--0.97091396) × cos(-1.08112881) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.470332501307076 × 6371000     		do = 287.303304515673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97100984--0.97091396) × cos(-1.08117390) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.470292709387108 × 6371000     		du = 287.278997562469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08112881)-sin(-1.08117390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470332501307076-0.470292709387108)×R²
    abs(-0.97091396--0.97100984)×3.97919199674468e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.97919199674468e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.97919199674468e-05×40589641000000     		ar = 82529.6664343492m²