Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2264 / 1943
↖ ↑ ↗
← N 68.285651°
W 80.507812°		 ← 1 807.90 m → N 68.285651°
W 80.463867°		 →
↑
1 808.54 m
↓
↑
1 808.54 m
↓
N 68.269387°
W 80.507812°		 ← 1 809.19 m →
3 270 821 m²		 N 68.269387°
W 80.463867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27642822265625 y=0.23724365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27642822265625 × 213)
    floor (0.27642822265625 × 8192)
    floor (2264.5)     		tx = 2264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23724365234375 × 213)
    floor (0.23724365234375 × 8192)
    floor (1943.5)     		ty = 1943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2264 / 1943 ti = "13/2264/1943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2264/1943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2264 ÷ 213
    2264 ÷ 8192     		x = 0.2763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1943 ÷ 213
    1943 ÷ 8192     		y = 0.2371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40512640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2371826171875 × 2 - 1) × π
    0.525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65133031811169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40512640} λ = -1.40512640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65133031811169))-π/2
    2×atan(5.21391137631159)-π/2
    2×1.38130288831217-π/2
    2.76260577662434-1.57079632675     		φ = 1.19180945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40512640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.507812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19180945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.285651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2264 KachelY 1943 -1.40512640 1.19180945 -80.507812 68.285651
    Oben rechts KachelX + 1 2265 KachelY 1943 -1.40435941 1.19180945 -80.463867 68.285651
    Unten links KachelX 2264 KachelY + 1 1944 -1.40512640 1.19152558 -80.507812 68.269387
    Unten rechts KachelX + 1 2265 KachelY + 1 1944 -1.40435941 1.19152558 -80.463867 68.269387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19180945-1.19152558) × R
    0.000283870000000075 × 6371000     		dl = 1808.53577000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19180945-1.19152558) × R
    0.000283870000000075 × 6371000     		dr = 1808.53577000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40512640--1.40435941) × cos(1.19180945) × R
    0.000766990000000023 × 0.369979427522049 × 6371000     		do = 1807.90199002459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40512640--1.40435941) × cos(1.19152558) × R
    0.000766990000000023 × 0.370243139181402 × 6371000     		du = 1809.19061527851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19180945)-sin(1.19152558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369979427522049-0.370243139181402)×R²
    abs(-1.40435941--1.40512640)×0.00026371165935285×R²
    0.000766990000000023×0.00026371165935285×6371000²
    0.000766990000000023×0.00026371165935285×40589641000000     		ar = 3270820.7020115m²