Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22632 / 10425
↖ ↑ ↗
← N 54.616617°
E 68.642578°		 ← 707.35 m → N 54.616617°
E 68.653564°		 →
↑
707.44 m
↓
↑
707.44 m
↓
N 54.610255°
E 68.642578°		 ← 707.46 m →
500 442 m²		 N 54.610255°
E 68.653564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690689086914062 y=0.318161010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690689086914062 × 215)
    floor (0.690689086914062 × 32768)
    floor (22632.5)     		tx = 22632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318161010742188 × 215)
    floor (0.318161010742188 × 32768)
    floor (10425.5)     		ty = 10425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22632 / 10425 ti = "15/22632/10425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22632/10425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22632 ÷ 215
    22632 ÷ 32768     		x = 0.690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10425 ÷ 215
    10425 ÷ 32768     		y = 0.318145751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690673828125 × 2 - 1) × π
    0.38134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19803900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318145751953125 × 2 - 1) × π
    0.36370849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14262393934366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19803900} λ = 1.19803900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14262393934366))-π/2
    2×atan(3.13498358912921)-π/2
    2×1.26201806033799-π/2
    2.52403612067599-1.57079632675     		φ = 0.95323979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19803900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95323979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.616617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22632 KachelY 10425 1.19803900 0.95323979 68.642578 54.616617
    Oben rechts KachelX + 1 22633 KachelY 10425 1.19823074 0.95323979 68.653564 54.616617
    Unten links KachelX 22632 KachelY + 1 10426 1.19803900 0.95312875 68.642578 54.610255
    Unten rechts KachelX + 1 22633 KachelY + 1 10426 1.19823074 0.95312875 68.653564 54.610255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95323979-0.95312875) × R
    0.000111040000000062 × 6371000     		dl = 707.435840000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95323979-0.95312875) × R
    0.000111040000000062 × 6371000     		dr = 707.435840000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19803900-1.19823074) × cos(0.95323979) × R
    0.000191739999999996 × 0.579044745915969 × 6371000     		do = 707.346898176447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19803900-1.19823074) × cos(0.95312875) × R
    0.000191739999999996 × 0.579135272787602 × 6371000     		du = 707.457483588547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95323979)-sin(0.95312875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579044745915969-0.579135272787602)×R²
    abs(1.19823074-1.19803900)×9.05268716332452e-05×R²
    0.000191739999999996×9.05268716332452e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.05268716332452e-05×40589641000000     		ar = 500441.663639395m²