Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22631 / 47434
↖ ↑ ↗
← S 62.456487°
W 55.684204°		 ← 282.44 m → S 62.456487°
W 55.678711°		 →
↑
282.43 m
↓
↑
282.43 m
↓
S 62.459027°
W 55.684204°		 ← 282.42 m →
79 766 m²		 S 62.459027°
W 55.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345329284667969 y=0.723793029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345329284667969 × 216)
    floor (0.345329284667969 × 65536)
    floor (22631.5)     		tx = 22631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723793029785156 × 216)
    floor (0.723793029785156 × 65536)
    floor (47434.5)     		ty = 47434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22631 / 47434 ti = "16/22631/47434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22631/47434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22631 ÷ 216
    22631 ÷ 65536     		x = 0.345321655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47434 ÷ 216
    47434 ÷ 65536     		y = 0.723785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345321655273438 × 2 - 1) × π
    -0.309356689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97187270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.44757080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40608513965549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97187270} λ = -0.97187270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40608513965549))-π/2
    2×atan(0.245100943340878)-π/2
    2×0.240362497879921-π/2
    0.480724995759843-1.57079632675     		φ = -1.09007133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97187270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.684204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09007133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.456487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22631 KachelY 47434 -0.97187270 -1.09007133 -55.684204 -62.456487
    Oben rechts KachelX + 1 22632 KachelY 47434 -0.97177683 -1.09007133 -55.678711 -62.456487
    Unten links KachelX 22631 KachelY + 1 47435 -0.97187270 -1.09011566 -55.684204 -62.459027
    Unten rechts KachelX + 1 22632 KachelY + 1 47435 -0.97177683 -1.09011566 -55.678711 -62.459027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09007133--1.09011566) × R
    4.43299999999258e-05 × 6371000     		dl = 282.426429999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09007133--1.09011566) × R
    4.43299999999258e-05 × 6371000     		dr = 282.426429999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97187270--0.97177683) × cos(-1.09007133) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462422122600991 × 6371000     		do = 282.44177706212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97187270--0.97177683) × cos(-1.09011566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462382816513216 × 6371000     		du = 282.417769384421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09007133)-sin(-1.09011566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462422122600991-0.462382816513216)×R²
    abs(-0.97177683--0.97187270)×3.93060877747486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93060877747486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93060877747486e-05×40589641000000     		ar = 79765.6325899987m²