Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22630 / 47590
↖ ↑ ↗
← S 62.850133°
W 55.689697°		 ← 278.74 m → S 62.850133°
W 55.684204°		 →
↑
278.73 m
↓
↑
278.73 m
↓
S 62.852639°
W 55.689697°		 ← 278.72 m →
77 691 m²		 S 62.852639°
W 55.684204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345314025878906 y=0.726173400878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345314025878906 × 216)
    floor (0.345314025878906 × 65536)
    floor (22630.5)     		tx = 22630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726173400878906 × 216)
    floor (0.726173400878906 × 65536)
    floor (47590.5)     		ty = 47590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22630 / 47590 ti = "16/22630/47590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22630/47590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22630 ÷ 216
    22630 ÷ 65536     		x = 0.345306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47590 ÷ 216
    47590 ÷ 65536     		y = 0.726165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.30938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97196858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.45233154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42104145233694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97196858} λ = -0.97196858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42104145233694))-π/2
    2×atan(0.24146241430806)-π/2
    2×0.236927288034757-π/2
    0.473854576069514-1.57079632675     		φ = -1.09694175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97196858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.689697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09694175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.850133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22630 KachelY 47590 -0.97196858 -1.09694175 -55.689697 -62.850133
    Oben rechts KachelX + 1 22631 KachelY 47590 -0.97187270 -1.09694175 -55.684204 -62.850133
    Unten links KachelX 22630 KachelY + 1 47591 -0.97196858 -1.09698550 -55.689697 -62.852639
    Unten rechts KachelX + 1 22631 KachelY + 1 47591 -0.97187270 -1.09698550 -55.684204 -62.852639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09694175--1.09698550) × R
    4.3749999999898e-05 × 6371000     		dl = 278.73124999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09694175--1.09698550) × R
    4.3749999999898e-05 × 6371000     		dr = 278.73124999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97196858--0.97187270) × cos(-1.09694175) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.456319530869526 × 6371000     		do = 278.743460784373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97196858--0.97187270) × cos(-1.09698550) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.456280600983517 × 6371000     		du = 278.719680405888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09694175)-sin(-1.09698550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456319530869526-0.456280600983517)×R²
    abs(-0.97187270--0.97196858)×3.89298860085652e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.89298860085652e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.89298860085652e-05×40589641000000     		ar = 77691.1990987001m²