Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22630 / 47435
↖ ↑ ↗
← S 62.459027°
W 55.689697°		 ← 282.45 m → S 62.459027°
W 55.684204°		 →
↑
282.43 m
↓
↑
282.43 m
↓
S 62.461566°
W 55.689697°		 ← 282.42 m →
79 767 m²		 S 62.461566°
W 55.684204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345314025878906 y=0.723808288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345314025878906 × 216)
    floor (0.345314025878906 × 65536)
    floor (22630.5)     		tx = 22630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723808288574219 × 216)
    floor (0.723808288574219 × 65536)
    floor (47435.5)     		ty = 47435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22630 / 47435 ti = "16/22630/47435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22630/47435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22630 ÷ 216
    22630 ÷ 65536     		x = 0.345306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47435 ÷ 216
    47435 ÷ 65536     		y = 0.723800659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.30938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97196858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723800659179688 × 2 - 1) × π
    -0.447601318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40618101345473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97196858} λ = -0.97196858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40618101345473))-π/2
    2×atan(0.245077445708664)-π/2
    2×0.240340331739256-π/2
    0.480680663478512-1.57079632675     		φ = -1.09011566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97196858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.689697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09011566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.459027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22630 KachelY 47435 -0.97196858 -1.09011566 -55.689697 -62.459027
    Oben rechts KachelX + 1 22631 KachelY 47435 -0.97187270 -1.09011566 -55.684204 -62.459027
    Unten links KachelX 22630 KachelY + 1 47436 -0.97196858 -1.09015999 -55.689697 -62.461566
    Unten rechts KachelX + 1 22631 KachelY + 1 47436 -0.97187270 -1.09015999 -55.684204 -62.461566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09011566--1.09015999) × R
    4.43300000001479e-05 × 6371000     		dl = 282.426430000942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09011566--1.09015999) × R
    4.43300000001479e-05 × 6371000     		dr = 282.426430000942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97196858--0.97187270) × cos(-1.09011566) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.462382816513216 × 6371000     		do = 282.447227793482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97196858--0.97187270) × cos(-1.09015999) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.46234350951679 × 6371000     		du = 282.42321705654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09011566)-sin(-1.09015999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462382816513216-0.46234350951679)×R²
    abs(-0.97187270--0.97196858)×3.9306996426014e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.9306996426014e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.9306996426014e-05×40589641000000     		ar = 79767.1715892457m²